Вращение вокруг начала координат

Eddy_em

November 25th, 2011

В прошлой записи я пытался при помощи Octave найти центр вращения поля, исходя из координат объектов на снимках, полученных последовательно с некоторым интервалом времени. Тот метод был непригоден в случае, если поле не только вращалось, но и смещалось. Здесь я изложу некоторые соображения, которые позволят (возможно) найти нужные параметры.

Итак, начнем с простейшего случая. Пусть мы имеем некий набор точек, расстояния между которыми постоянны (т.е. проще представить это в виде некоторого "жесткого" объекта). Каждая точка P_i задана координатами (x_i, y_i). Координаты точек будем обозначать в векторном виде: r _i Повернем наш набор точек вокруг начала координат на некоторый угол:

Вращение вокруг начала координат

Каждая точка P_i, заданная вектором r _i, переходит путем преобразования вращения в точку P'_i, заданную вектором r '_i. Чтобы записать это преобразование в матричном виде, дополним вектора-столбцы, характеризующие каждую точку, единицей, а матрицу преобразования координат:

сделаем квадратной, заполнив недостающие элементы нулями, а правый нижний элемент главной диагонали - единицей:

Тогда получим в общем виде: r ' = Rr, где R - матрица поворота:

Это уравнение легко решается методом наименьших квадратов, в результате чего определяется угол поворота системы.

Дата добавления: 2014-01-04