Теория подобия

Теория подобия – это учение о подобии явлений. Теория подобия позволяет сократить количество переменных, описывающих явление, процесс, объект исследования, вводя обобщенные безразмерные переменные.

Простейшим примером подобия является геометрическое подобие фигур:

Если стороны одной фигуры L₁, L₂, …L_n умножить на коэффициент K_l, чтобы получить размеры сторон L¢₁, L¢₂, …L¢_n другой фигуры, то можно получить серию геометрически подобных плоских фигур, объединены в определенную группу. Для этих фигур коэффициент K_l называют критерием подобия.

Такой способ применения подобия может быть использован не только для плоских фигур, но и для разных физических величин: времени К_τ= τ₁/τ₂ , давления К_р= р₁/р₂ , вязкости К_µ= µ₁/µ₂ и т.п. Критерии подобия выделяют среди данного класса явлений, описываемых одинаковыми дифференциальными уравнениями, группу подобных явлений (процессов) через преобразования условиями однозначности в условия подобия систем. Все явления, входящие в одну группу с одинаковыми значениями критериев однозначности, подобны и отличаются только масштабом.

Таким образом, любое дифференциальное уравнение описывает широкую группу подобных и неподобных явлений. Это же уравнение с одинаковыми граничными условиями и критериями подобия описывает подобную группу явлений. В безразмерном виде и дифференциальные уравнения и граничные условия имеют одинаковый вид, отличаются лишь значениями безразмерных коэффициентов (являющихся критериями подобия) при членах математических выражений. Решение отыскивается в виде зависимости результата исследования от этих безразмерных коэффициентов, критериев подобия. Если уравнение и граничные условия не записаны в безразмерном виде, то решение будет применимо лишь для анализа частного случая, для ряда подобных явлений.

При планировании экспериментов, анализе и обобщении полученных результатов экспериментов широко используется теория подобия.

Три теоремы подобия:

1. Два физических явления подобны, если они описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и имеют подобные (граничные) условия однозначности, и их определяющие критерии подобия численно равны.
2. Если физические процессы подобны, то критерии подобия этих процессов равны между собой.
3. Уравнения, описывающие физические процессы, могут быть выражены дифференциальной связью между критериями подобия.

p-теорема подобия:

«Если существует однозначное соотношение f(A₁, А₂, … A_i …, А_n) = 0 между n физическими величинами, для описания которых используется k основных единиц, то существует также соотношение

между (n — k) безразмерными комбинациями (критериями подобия), составленными из этих физических величин.

Ван Дрист предложил модифицированную p-теорему:

«Число безразмерных комбинаций полной системы равно общему числу переменных минус максимальное число этих переменных, не образующих безразмерной комбинации».

Выбор выражений безразмерных комплексов не прост, они должны отражать физический смысл исследуемого явления, процесса.

Дата добавления: 2014-01-04