Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах

Докажем сначала одно вспомогательное утверждение.

Лемма. Если A= (a _ij) и B= (b _ij) – квадратные матрицы порядка n и для любого n-мерного вектора-столбца , то .

□ Пусть

для любого n -мерного вектора-столбца . Полагая

,

получим последовательно равенство первых столбцов матриц A и B, вторых столбцов и т.д. Таким образом, . ◘

Пусть даны два базиса -мерного пространства :

, (1)

, (2)

Рассмотрим линейный оператор A пространства и обозначим через A и A’ его матрицы соответственно в базисах и . Нас будет интересовать связь между матрицами A и A’.

Пусть T – матрица перехода от базиса (1) к базису (2). Рассмотрим векторы и = A x. Пусть – координатные столбцы вектора в базисах (1) и (2), – координатные столбцы вектора y в базисах (1) и (2) соответственно. координатные столбцы вектора и его образа = A x связаны равенствами

(3)

соответственно в базисах и . С другой стороны, координатные столбцы векторов x и y связаны в базисах (1) и (2) матричными равенствами

. (4)

Используя равенства (3) и (4), получаем

,

т. е.

. (5)

Равенство (5) справедливо для любого координатного столбца и поэтому по лемме получаем равенство

. (7)

Итак, нами доказана

Т е о р е м а 1. Матрица A’ линейного оператора A в новом базисе (2) получается из матрицы A оператора A в старом базисе (1) с помощью матрицы T перехода от базиса (1) к базису (2) по формуле (7). ◘

Пример. Линейный оператор A пространства R ³ имеет в базисе

матрицу .

Найти матрицу ’ того же оператора в базисе .

□ Сначала находим матрицу перехода T от старого базиса к новому базису. После вычислений получим

и .

Искомая матрица:

= .

Дата добавления: 2014-01-04