Основные понятия. При решении квадратных уравнений возникают ситуации, когда дискриминант отрицательный и корней не существует

Комплексные числа.

При решении квадратных уравнений возникают ситуации, когда дискриминант отрицательный и корней не существует. Так в уравнении
дискриминант . Но в то же время по теореме Виета имеем . Корней нет, но их сумма и произведение существуют. Это означает, что корни должны существовать. Но выражаются они в других, не действительных числах. Обозначим тогда . В этом случае можно записывать квадратные корни из отрицательных чисел, например .

Комплексным числом называется выражение вида , где и – действительные числа. Например, , и т. д.

Величина называется действительной частью комплексного числа и обозначается , а – комплексной (мнимой) частью, .

Два комплексных числа называются равными, если совпадают их действительные и мнимые части. Так если , , то тогда и только тогда, когда .

Понятие «больше» или «меньше» для комплексных чисел не существуют.

Теперь квадратное уравнение имеет два корня: и .

Два комплексных числа и называются сопряженными. Найдем их произведение

Если мнимая часть комплексного числа равна 0, то число является действительным.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Пусть дано комплексное число . Сопоставим ему на координатной плоскости точку . С другой стороны каждую точку плоскости можно рассматривать как некоторое комплексное число (рис. 92). Комплексное число можно задать и с помощью вектора (рис. 93). В этом случае длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается . Такое понятие соответствует понятию модуля действительного числа на числовой прямой как расстояние от него до начала координат. Тогда

Величина угла φ между и положительным направлением оси называется аргументом комплексного числа и обозначается Для комплексного числа аргумент не определён. Для любого другого числа он определяется с точностью до величины . Если , то он называется главным аргументом.

Дата добавления: 2014-01-04