Действия над комплексными числами

Сложение и вычитание.

Сложение и вычитание комплексных чисел можно производить обычным образом. Так если , то

, например, если

, , то

, в нашем случае

.

Умножение.

Умножение комплексных чисел производится так же обычным образом с учетом того, что .

Для наших чисел

.

Пусть числа и заданы в тригонометрической форме:

Тогда

Таким образом, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется и на случай нескольких множителей. Если

, то

Это правило возведения комплексных чисел в степень называется формулой Муавра.

Деление.

Деление комплексных чисел осуществляется путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю

В нашем примере

Для чисел в тригонометрической форме

При делении комплексных чисел в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются.

Извлечение корня.

Корнем – й степени из комплексного числа называется комплексное число такое, что

Если и

Тогда

По формуле Муавра

Отсюда Тогда

Таким образом, формула извлечения корня – й степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме имеет вид

Пример 74. Вычислить .

Решение. Представим единицу как комплексное число

Тогда по формуле извлечения корня 2-й степени

Подставляя значения , получим

Второй способ. Покажем на примере вычисления квадратного корня . Пусть , тогда или

Приравнивая действительные и мнимые части, получим систему

Сделаем замену , получим . Отсюда . Тогда И таким образом

Дата добавления: 2014-01-04