Дифференциальное уравнение теплопроводности прямого ребра произвольного профиля

Все ребра, шипы и прочие выступы можно представить как частные случаи прямого ребра произвольного профиля.

Такое ребро имеет грани, профиль которого описывается уравнением y=f(x), в общем случае переменное сечение.

Обозначим площадь этого сечения F(x), периметр П(х), а толщину ребра d(х).

Будем считать, что H значительно больше самого большого значения толщины ребра H>> d_max, a=const. Также считаем, что данное ребро охлаждается жидкостью с постоянной температурой и теплопроводностью l=const. Данные условия позволяют пренебречь изменением температуры в направлении осей y и z .

Для удобства будем вести расчет от температуры жидкости, т.е. вводим понятие избыточной температуры J = t - t_ж.

На расстоянии х от основания ребра выделим элементарный участок длиной dx и запишем уравнение теплового баланса выделенного элемента.

Q_x – Q_x+dx = dQ (*)

Q_x — тепловой поток, входящий в левую часть грани выделенного элемента,

Q_x+dx — тепловой поток, выходящий из правой грани выделенного элемента, в следствии теплопроводности.

dQ — тепловой поток, отводимый через наружную поверхность элемента в охлаждающую жидкость.

- получили, разложив в рад Фурье и ограничившись первыми двумя членами разложения.

Q_x – Q_x+dx= Q_x - Q_x - dQ_x=-dQ_x;

Согласно закону Фурье можем записать:

, из закона Ньютона-Рихмана:

, где

Приравняв эти выражения и разделив на dx, получим:

----- дифференциальное уравнение теплопроводности прямого ребра произвольного профиля.

Ребро постоянного прямоугольного профиля.

Необходимо найти уравнение температурного поля ребра и формулу для расчета теплового потока, отводимого от ребра.

F(x)=const=F₀, П(x)=const=П₀, y=f(x)=const=d/2

Рассмотрим граничные условия.

Их можно сформировать как комбинированные первого и третьего рода.

При х=0 J=J₀=const (2) т.е. температуры оснований известны.

При х=h имеет место равенство тепловых потоков, отводимого от торца ребра в охлаждающую жидкость и подводимого к торцу ребра за счет теплопроводности.

, (3)

Решение уравнения (1) ищем в виде:

(4) при x=0 C₁+C₂=J₀ => C₂=J₀ - C₁

(5)

(6)

(7), подставляя (6) и (7) в (3) получим:

, отсюда C₁ и C₂ равны:

подставляя выражения для С₁ и С₂ в (4), получим:

умножив и разделив его правую часть на е^-mh и проделав все возможные приведения, получим формулу:

- температурное поле.

Данную формулу можно упростить в случае пренебрежения теплоотдачей с торца ребра (a_Т – мало l- велико).

, при x=h .

Часто вводят понятие безразмерной температуры:

(*)

m₁<m₂<m₃<m₄, m=1 – идеальный случай

Из графика видно, что для оребрения необходимо выбирать материал для ребер с большим коэффициентом теплопроводности. Величина m называется темпом охлаждения. Она измеряется в 1/с. При наступлении регулярного режима темп охлаждения не зависит ни от координаты, ни от времени и является величиной постоянной для всех точек тела. Темп охлаждения характеризует относительную скорость изменения температуры в теле и зависит только от физ. свойств тела, процесса охлаждения на его поверхности, геометрической формы и размеров тела.

Дата добавления: 2014-01-04