J Пример 14.1

Приведём примеры непрерывных функций:

1) , так как .

2) при .

3) Функция свойством непрерывности в точке не обладает. J

Определение непрерывности в точке а может быть записано и так:

,

то есть для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции. Очевидно, что непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью её графика при прохождении данной точки (без отрыва карандаша от листа бумаги).

Дадим аргументу а приращение . Тогда функция получит приращение , определяемое как разность наращенного и исходного значений функции (см. рис. 14.1): .     Рис. 14.1.

Определение 14.3. Функция называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Определение 14.4. Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва функции.

Например, функция Дирихле разрывна в каждой точке .

Точки разрыва имеют различный характер и классифицируются следующим образом.

1) Если , то а называется точкой устранимого разрыва функции . При этом значение может быть и не определено.

2) Если , то а называется точкой разрыва с конечным скачком функции . Значение может быть любым, а может быть и не определено.

3) Конечный скачок и устранимый разрыв функции называются разрывами I рода. Их отличительным признаком является существование конечных односторонних пределов и .

Все другие разрывы называются разрывами II рода. В точке разрыва II рода хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.

J Пример 14.2. 1) Пусть Очевидно, , но (рис. 14.2). Следовательно, – точка устранимого разрыва функции . Если положить , то разрыв устраняется.

Рис. 14.2.

2) Пусть Здесь , (рис. 14.3). Следовательно, – точка разрыва с конечным скачком функции . При переходе через точку значения функции меняются скачком от значений, сколь угодно близких к 1 при к значению, равному 0 в точке , и значениям, сколь угодно близким к 0 при .

Рис. 14.3.

3) Пусть . Определим односторонние пределы: , . Точка – точка разрыва функции II рода (рис. 14.4).

Рис. 14.4. J

Определение 14.5. Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в любой точке . Функция непрерывна на интервале или на сегменте , если

; .

Дата добавления: 2014-01-04