Гипербола

Эллипс

ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА

ФИГУРЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Фигуры, которые изучались в предыдущей главе, т.е. прямые и плоскости, задавались в аффинных реперах линейными уравнениями (уравнениями первой степени), поэтому они называются фигурами первого порядка. В этой главе мы рассмотрим фигуры второго порядка, которые в аффинных реперах задаются уравнениями второй степени. В первом параграфе познакомимся эллипсом и гиперболой, которые вместе с параболой являются важнейшими примерами фигур второго порядка.

Определение 3.1.2. Эллипсом называется фигурана плоскости которая в некоторой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением

(1)

Здесь и – фиксированные положительные числа, причем

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса. Если – точка эллипса, то из уравнения (1) вытекает, что Это означает, что эллипс – ограниченная фигура, лежащая внутри прямоугольника размерами со сторонами параллельными осям координат и с центром в начале координат. Середины сторон прямоугольника принадлежат эллипсу и называются вершинами эллипса. Числа и называются полуосями эллипса. Поскольку в уравнение (1) неизвестные и входят в квадратах, то вместе с любой точкой принадлежащей эллипсу, ему принадлежат точки Это означает, что эллипс симметричен относительно осей координат и начала координат. Таким образом, чтобы нарисовать эллипс, достаточно изобразить его часть, лежащую в первой четверти, и затем достроить недостающие части, пользуясь симметрией. Считая, что из уравнения (1) получаем, что в первой четверти эллипс задается графиком убывающей функции

Правила построения графиков функций, известные из математического анализа, показывают, что это будет дуга кривой, выпуклой вверх, соединяющей вершины эллипса и . Используя симметрию, получаем изображение всего эллипса (рис. 1).

Рис. 1

Так как в уравнении (1) эллипса , можно определить число Отношение называется эксцентриситетом. Эксцентриситет эллипса – положительное число, меньшее единицы, характеризующее его форму. Если стремится к 0, то полуоси и отличаются мало, и эллипс приближается к окружности, если стремится к 1, то полуось значительно меньше и эллипс приближается к отрезку (рис. 2).

Рис. 2

Точки и называются фокусами эллипса. Если – произвольная точка эллипса, то отрезки и а также их длины называются фокальными радиусами точки Вычислим значения фокальных радиусов:

=

=

При извлечении последнего квадратного корня следует учесть, что и для точки эллипса верно неравенство: Аналогично, Заметим, что т.е. для любой точки эллипса с уравнением (1) сумма расстояний до фокусов постоянна и равна . Отмеченное свойство является характеристическим для эллипса. Это означает, что верно следующее утверждение.

Теорема 3.1.1. Пусть и – две точки плоскости, расстояние между которыми равно Тогда фигура , состоящая из всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до и постоянна и равна есть эллипс. Точки и являются фокусами этого эллипса.

Доказательство. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы ось проходила через точки и , а начало системы координат совпадало с серединой отрезка . В этой системе точки и имеют следующие координаты: Пусть – произвольная точка плоскости. Тогда

Следовательно, уравнение фигуры имеет вид:

(2)

Перенесем второй корень в правую часть и возведем обе части уравнения в квадрат. Раскрывая скобки и приводя подобные, получим уравнение:

Еще раз возводим в квадрат обе части уравнения и приводим подобные:

Так как по условию то можно определить число Разделив обе части последнего уравнения на получим, что все точки фигуры удовлетворяют уравнению эллипса:

(1)

Выше было отмечено, что верно и обратное, т.е. любая точка эллипса удовлетворяет уравнению (1). Следовательно, фигура является эллипсом. Точки и , как отмечено выше, являются его фокусами.

Наряду с общим уравнением (1), часто используют параметрическое задание эллипса, которое получается следующим образом. Пусть – прямоугольная система координат. Рассмотрим две концентрические окружности с центром в точке О и радиусами и (рис. 3).

Рис. 3

Пусть произвольное вещественное число. Из точки проведем луч, образующий угол с положительным направлением оси . Этот луч пересекает окружности в точках и . Через точку проведем прямую, параллельную оси , а через точку проведем прямую, параллельную оси . Эти прямые пересекаются в точке , которая, очевидно, лежит на эллипсе с уравнением (1). Если принимает все вещественные значения, то пробегает все точки эллипса, следовательно, параметрические уравнения эллипса имеют вид:

Определение 3.1.3. Гиперболой называется фигурана плоскости которая в некоторой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением

(3)

Здесь и – фиксированные положительные числа.

Уравнение (3) называется каноническим уравнением гиперболы. Если – точка гиперболы, то из уравнения (3) вытекает, что Это означает, что гипербола – фигура, лежащая вне полосы шириной , которая определяется неравенством: . Поскольку в уравнение (3) неизвестные и входят в квадратах, то гипербола, также как эллипс, симметрична относительно осей координат и начала координат. Таким образом, чтобы нарисовать гиперболу, достаточно изобразить ее часть, лежащую в первой четверти, и затем достроить недостающие части, пользуясь симметрией. Считая из уравнения (3) получаем, что в первой четверти гипербола задается графиком возрастающей функции

У этого графика есть наклонная асимптота с уравнением где

,

Далее нетрудно установить, что график функции представляет собой выпуклую вверх кривую, выходящую вертикально из точки и асимптотически приближающуюся к прямой . Используя симметрию, получаем изображение всей гиперболы (рис. 5).

Рис. 5

Гипербола состоит из двух частей (ветвей), обозначим их: и – соответственно правая и левая ветви на рисунке 5. Точки принадлежат гиперболе и называются ее вершинами. Числа и называются полуосями гиперболы, – действительная полуось, – мнимая полуось.

Для изображения гиперболы вручную на листе бумаги или на доске обычно поступают следующим образом. Вначале рисуют прямоугольник размерами со сторонами параллельными осям координат и с центром в начале координат, такой же, как для эллипса с уравнением (1). Затем проводят асимптоты гиперболы . Это прямые, на которых лежат диагонали основного прямоугольника. И наконец, рисуют ветви гиперболы и так, чтобы они касались основного прямоугольника в вершинах и и асимптотически приближались к прямым .

Определим число . Отношение , также как для эллипса, называется эксцентриситетом. Эксцентриситет гиперболы – положительное число, большее единицы, характеризующее ее форму (на рис. 6). Если стремится к 1, то мнимая полуось значительно меньше действительной полуоси и гипербола приближается к двум лучам. Если стремится к , то мнимая полуось значительно больше действительной полуоси и гипербола приближается к паре параллельных прямых.

Рис. 6

У гиперболы с каноническим уравнением (3) имеются фокусы, это две точки: и (рис.). Если – произвольная точка гиперболы, то отрезки и а также их длины называются фокальными радиусами точки Вычислим значения фокальных радиусов:

=

=

При извлечении последнего квадратного корня следует учесть, что и для точки гиперболы Аналогично,

Заметим, что и т.е. для любой точки гиперболы с уравнением (4) абсолютная величина разности расстояний до фокусов постоянна и равна . Отмеченное свойство является характеристическим для гиперболы. Это означает, что верно следующее утверждение.

Теорема 3.1.2. Пусть и – две точки плоскости, расстояние между которыми равно Тогда фигура , состоящая из всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до и постоянна и равна есть гипербола. Точки и являются фокусами этой гиперболы.

Доказательство. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы ось проходила через точки и , а начало системы координат совпадало с серединой отрезка . В этой системе точки и имеют следующие координаты: Пусть – произвольная точка плоскости. Тогда

Следовательно, уравнение фигуры имеет вид:

(4)

или

Перенесем второй корень в правую часть и возведем обе части уравнения в квадрат. Раскрывая скобки и приводя подобные, получим уравнение:

Еще раз возводим в квадрат обе части уравнения и приводим подобные:

Так как по условию то можно определить число Разделив обе части последнего уравнения на получим, что все точки фигуры удовлетворяют уравнению гиперболы:

(3)

Выше было отмечено, что верно и обратное, т.е. любая точка гиперболы удовлетворяет уравнению (4). Следовательно, фигура является гиперболой. Точки и являются фокусами этой гиперболы.

Наряду с гиперболой с уравнением (3) можно рассматривать гиперболу, которая задается уравнением

.

Эти две гиперболы называются сопряженными друг для друга. У сопряженных гипербол один и тот же основной прямоугольник и совпадают асимптоты, только действительные и мнимые оси меняются ролями (рис. 7).

Рис. 7

Гиперболу можно задать параметрически. Соответствующие формулы подобны тем, которые использовались при задании эллипса, только обычные синус и косинус заменяются на гиперболические:

(5)

Поскольку , то формулы (5) задают только одну ветвь гиперболы, вторая ветвь задается формулами:

Для гиперболы с уравнением которая рассматривается в средней школе и является графиком обратно пропорциональной зависимости, оси координат являются асимптотами, а прямые с уравнениями – осями симметрии. Каноническое уравнение такой гиперболы:

Дата добавления: 2014-01-04