Интерполяционная формула Ньютона для неравномерной сетки

Пусть х Î [ a, b ]. Построим первую разделенную разность

Откуда находим

f (х) = f (х ₀) + (х - х ₀) f (х,х ₀).

Построим вторую разделенную разность

и выразим из нее f (х,х ₀):^:

f (х,х ₀) = f (х ₀ ,х ₁) + (х - х ₁) f (х,х ₀ ,х ₁).

Подставим f (х,х ₀) в выражение для f(х):

Аналогично привлекаем следующие узлы интерполяции для построения интерполяционной функции.

После использования всех узлов интерполяции:

f (х) = f (х ₀) + (х - х ₀) f (х ₀ ,х ₁) + (х - х ₀) (х - х ₁) f (х ₀ ,х ₁ ,х ₂)+… +

+ (х - х ₀) … (х - х_{n- 1}) f (х ₀, …, х_n) + (х - х ₀) … (х - х_n) f (х, х ₀, …, х_n) =

= P_n (x) + R_n (x).

Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что

f (х_k) = y_k=P_n (x_k), k= 0,1,…, n.

Погрешность интерполяции

R_n (x) = (х - х ₀) … (х - х_n) f (х, х ₀, …, х_n).

Более эффективное вычисление значения функции по интерполяционной формуле Ньютона можно получить, если преобразовать ее к такому виду:

f (х) = f (х ₀) + (х - х ₀)(f (х ₀ ,х ₁) + (х - х ₁)(f (х ₀ ,х ₁ ,х ₂)+… +

+ (х - х_{n- 2})(f (х ₀, …, х_{n- 1}) + (х - х_{n- 1}) f (х ₀, …, х_n)))…).

Интерполяционная формула Ньютона позволяет легко наращивать число узлов интерполяции, требуя при этом вычисления лишь дополнительных слагаемых. Например, добавление узла х_{п+ 1} приведет к вычислению слагаемого

(х - х ₀) … (х - х_n) f (х ₀, х ₁, …, х_n).

Дата добавления: 2014-01-04