Интегралы III типа

(2.9)

(2.10)

где a и b – заданные числа, , .

Для нахождения этого типа интегралов формула интегрирования по частям применяется дважды. При этом при первом интегрировании по частям безразлично, какую из двух функций, произведение которых представляет подынтегральную функцию, принять за u. Однако при втором интегрировании за u нужно принимать функцию того же типа, что и при первом.

В результате получаем линейное уравнение относительно исходного интеграла, из которого он и находится.

Проиллюстрируем описанный алгоритм разбором решения следующей задачи.

Пример 2.3.

Решение. В данном интеграле за u может быть принята любая из функций или . Мы примем за u функцию

Мы получили уравнение, содержащую одну неизвестную величину :

или

Решение этого уравнения имеет вид:

Таким образом,

3. Примеры применения метода интегрирования
по частям к вычислению интегралов

Задача 3.1.

Решение. Имеем интеграл типа (2.1), где а в качестве первого сомножителя выступает двучлен Здесь можно пойти двумя путями: во-первых, воспользоваться свойством аддитивности и «разбить» интеграл на два интеграла, во-вторых, принять за u двучлен Мы считаем второй путь более рациональным.

Задача 3.2.

Решение. Имеем интеграл типа (2.5), где , .

–

Пример 3.3. .

Решение. Данный интеграл – интеграл типа (2.1), где который приведётся к табличному интегралу двукратным применением формулы интегрирования по частям:

=.

Задача 3.4. .

Решение. Данный интеграл имеет вид (2.4) при с тем отличием, что заменён на . Ясно, что , т.к. иначе не существовал бы.

Имеем:

=

=

.

Задача 3.5. .

Решение. – Интеграл типа (2.4), .

Тогда:

=

=.

Задача 3.6. .

Решение. Этот интеграл может быть приведён к интегралу (2.1) с помощью подстановки :

Дата добавления: 2014-01-04