Формулы Крамара

Решение и исследование систем линейных уравнений.

П3.1 Линейные уравнения

Уравнение вида

(3.1)

Называется линейным

Совокупность n линейных уравнений (3.1) образуют систему n линейных уравнений с n неизвестных

Главный определитель системы (3.2) – это определитель составленный из коэффициентов при не известных в левой части

Вспомогательный определитель- это определитель полученный из главного путем замены одного из столбцов столбцом свободных членных

П 3.2 Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамара

П 3.3 Исследования систем линейных уравнений

Из формулы видно, что если главный определитель равен нулю, то система не совместна или система не определена. Система не имеет решении тогда и только тогда когда главный определитель равен нулю и хотя бы один вспомогательный.

0/0- не определенность.

Формулы Крамара могут применятся толь для тех линейных систем в которых число уравнений равно числу неизвестных.

П3.4 Однородные системы

Определение: Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

Однородная система всегда совместна (есть решение).

Если главный определитель однородной системы не равен нулю, то система имеет единственное нулевое решение. Если главный определитель однородной системы равен нулю, то система имеет не нулевое решение. Если однородная система имеет множество решений, то уравнения в системе зависимы (то есть какие-то уравнения являются линейной комбинацией остальных и будут лишними их надо вбросить). Что бы выяснить, сколько уравнений в системе нужно оставить, вычислим в главном определителе все миноры. Если хотя бы один из миноров будет не нулевой (n-1), то в системе следует оставить (n-1) уравнений. Оставшиеся уравнения соответствуют строка не нулевого минора. Если же все миноры (n-1) порядка равны нулю, то вычисляются миноры (n-2). Число оставшихся уравнений в системе равно порядку не нулевого минора. Так как в результате отбрасывания число не известных будет больше оставшихся уравнений, следовательно, не которые не известные системы должны выражаться через другие какие-то переменные. В левой части оставшиеся не известные соответствуют столбцам не нулевого минора. Те что остались с лева называются базисными, те что остались с права свободными. Для того что бы получить не нулевые системы нужно свободным не известным предать произвольные числовые значения.

Дата добавления: 2014-01-04