Гармонійний ряд

Гармонійним називається ряд

. (14.11)

Цей ряд першим в історії математики був досліджений на збіжність. Необхідна умова збіжності виконується:

.

Але ще Я. Бернулі довів, що цей ряд є розбіжним.

Гармонійний ряд і геометрична прогресія найчастіше вибираються для порівняння згідно з теоремами 1 і 2. Також використовують узагальнений гармонійний ряд:

(14.12)

Він збігається, якщо , і розбігається, якщо .

Приклад 3. Дослідити на збіжність числовий ряд

.

Починаючи з другого члена, виконується нерівність

.

Ряд

є геометрична прогресія. Її знаменник , так що прогресія збіжна. За теоремою 1 маємо, що досліджуваний ряд також є збіжним.

Приклад 4. Дослідити на збіжність числовий ряд

.

Знайдемо

.

Необхідна умова виконується, але прямує до нуля як , тому що . Враховуючи це, виберемо як ряд порівняння гармонійний ряд і застосуємо теорему 2:

,

Тобто досліджуваний ряд повинен бути розбіжним, бо гармонійний ряд розбігається.

Дата добавления: 2014-01-04