Виробнича функція Кобба-Дугласа

Лекція 3. Тема: Криві зростання.

Приклади економетричних моделей.

Модель споживання. Метою усіх виробничих систем & виробництво матеріальних благ, які споживаються відразу або надходять у запаси і споживаються у майбутньому.

Усі види споживання можна поділити на дві групи: виробниче і невиробниче споживання.

Метою вивчення обсягу споживання є пошук закономірностей споживання деякою товару або групи товарі” залежно під їх піни, доходу населення та інших параметрів..

Економічні та статистичні спостереження споживання дозволяють висунути певні гіпотези і описати закономірності за допомогою моделі.

Позначимо у_і - споживання і - го продукту (наприклад, олії) і-тою сім'єю, доход якої дорівнює Х_i.

Якщо кожному значенню х_і відповідає одне певне значення у_і, то між Х_і та У_і існує певний функціональний зв'язок: у_і=f (x_i).

Але на розмір споживання продукту у_і крім доходу сім'ї х_і, впливають інші фактори (розмір сім'ї, середній вік, специфіка праці, схильність до ощадливості, стриманість або надмірність у витратах), частина яких є випадковими. Сім'ї з однаковим доходом, х_і мають різний розмір споживання, тому функціональний зв'язок теоретично треба замінити рівнянням регресії

Ŷ = f (х_і)

де Ŷ_i— середнє значення розміру споживання і - ого продукту.

Якщо врахувати вилив усіх випадкових факторів і ввести у моделі, випадкову складову L_i, то одержимо

Ŷ = f (х_і) + L_i

Загальний вигляд моделі споживання для і=1, 2,..., n, буде

Y = F(X) + L,

де У, X та L - вектори.

В частності, у випадку лінійної функції f теоретична модель має вигляд

Ŷ = ах + b (1. 2)

де а та b - невідомі параметри.

Наблизити обчисленні значення Ŷ до фактичних можна шляхом заміни рівняння (1. 2) лінійним рівнянням

Y = αX + β + L (1.3)

з стохастичною складовою L. Бажано, щоб L є N (0,δ²).

Відмітимо, що коефіцієнти α. та β моделі (1.3) називають оцінюваними параметрами, а коефіцієнти а та b в моделі (1.2) називають їх оцінками.

На підставі вибіркових спостережень X та У потрібно - не лише статистично оцінити коефіцієнти а та b в моделі (1.2), але і перевірити виконання щодо них, наприклад, таких гіпотез:

1.Чи буде гранична схильність до споживання (коефіцієнт а>1/2) більша за половину?

2. Чи можна вважати споживання пропорційним доходу сім'ї (b = 0)?

3. Чи виправдана для розглядаємої вибіркової сукупності гіпотеза про сталу дисперсію відхилень (залишків) для усіх значень X?

Ці запитання є типовими задачами економетричних досліджень.

Нехай Y - обсяг випускаємої продукції, F - фінансові витрати, L -вартість робочої сили. Функцію

Y = aF^α L ^β, 0<α<1, 0< β<1 (1.4)

називають виробничою функцією Кобба-Дугласа.

У загальному вигляді права частина рівності (1.4) може містити більшу кількість факторів.

Розглянемо деякі властивості виробничої функції.

1. Якщо рівень кожного виробничого ресурсу збільшити на ґ %, тоді обсяг продукції буде

З цієї рівності випливає, що при α + β >1 темпи росту обсягу продукції вище за темпи росту виробничих ресурсів.

При α + β > 1 темпи росту обсягу продукції будуть нижчі за темпи росту ресурсів.

2. Знайдемо частинні похідні першого порядку виробничої функції

Ці рівності означають, що граничний приріст продукції за рахунок приросту кожного ресурсу визначається як добуток коефіцієнта еластичності на середню ефективнність ресурсу.

Параметр a у виробничій функції (1.4) залежить від вибраних одиниць вимірювання Y, F, L, а його числове значення визначається ефективністю виробничого процесу.

3.Частинні похідні другого порядку виробничої функції мають вигляд:

Оскільки 0< α <1 і 0< β <1, то

Ці нерівності означають, що при збільшенні ресурсів граничний приріст обсягу продукції буде зменшуватися.

4. Якщо обсяг продукції Y у виробничої функції (1.4) вважати сталим, то можна обчислити граничні норми заміщення ресурсів.

Отже, гранична норма заміщення ресурсів у виробничій функції (1.4) визначається як добуток відношення величин ресурсів та їх коефіцієнтів еластичності.

Швидкість зміни норми заміщення ресурсів у зв'язку зі зміною величини ресурсів обчислюється за формулами.

5.
Розглянемо поводження виробничої функції (1.4) при зміні масштабу виробництва.

Якщо витрати кожного ресурсу збільшити в λ раз, то обсяг продукції Y прийме нове значення.

Тобто степінь однорідності виробничої функції дорівнює α+β.

Якщо α+β<1, то з розширенням масштабів виробництва середні витрати ресурсів в розрахунку на одиницю продукції зменшуються, а при α+β>1 - збільшуються.

6. Якщо до функції прибутку

застосувати метод Лагранжа знаходження екстремуму, то можна знайти значення Y, F та L, що забезпечують максимізацію прибутку.

Висновок: Модель виробничої функції Кобба - Дугласа дозволяє аналізувати виробничу діяльність, визначати шляхи її вдосконалення з метою підвищення ефективності.

Модель пропозиції та попиту.

На конкурентному ринку рівновага обміну встановлюється як рівновага між пропозицією та попитом.

Нахай y₁ та у₂ - обсяги попиту і пропозиції деякого продукту в певний день на деякому ринку, р - ціна реалізації продукту.

Оськільки ціна може не влаштовувати покупців та продавців, то обсяг проданого товару змінюється, тобто

Y₁ = f₁(p,L) - функція попиту;

Y₂ = f₂(p,Е) - функція пропозиції.

Знаючи ціну р можна визначити величини попиту та пропозиції.

Отже, моделлю рівноваги на розглядаємому ринку буде

В реальних умовах попит і пропозиція певного товару залежать не лише від ного ціни р, але і під цін товарів, що можуть його замінити або доповнити. Попит залежить ще від доходу покупців, а пропозиція залежить від виробничих умов.

Тому модель ускладнюється і приймає вигляд

В цій моделі попит залежить від ціни у період t, а пропозиція - від ціни попереднього періоду (t -1). Таке явище називається лагом (запізненням) ціни.

Найпростіша кон 'юктурна модель (модель Кейнса).

Щоб передбачити розвиток економіки і впливати на нього, потрібно знати зв'язок між рівнем випуску продукції та зайнятості.

Економістами встановлено, що інвестиції (капіталовкладення) відіграють основну роль в кон'юкторній еволюції з двох причин:

1. інвестиції автономні і впливають па зростання обсягів виробництва в секторах предметів споживання та засобів виробництва:

2. зростання обсягів виробництва збільшує доходи, які впливають на збільшення обсягу виробництва предметів споживання.

Ці міркування спрощено можна подати у вигляді моделі

де: Р — загальний обсяг продукції; С - обсяг виробництва предметів споживання; j- обсяг засобів виробництва, що задається автономно; R - доходи, які розподіляються; f- деяка функція, що вказує зв'язок між обсягом споживання і розподіленими доходами (для різних країн в різні періоди функції f - різні); L - стохастична складова.

P – f(R,L) = j (1.9)

добре пояснює досягнутий рівень виробництва, дозволяє визначити залежність обсягу виробництва P від автономно заданого обсягу капіталовкладень j.

Так, наприклад, якщо

C = f(R) = αR + β = αP + β

То перше рівняння системи (1.8) прийме вигляд

Коефіцієнти α та β залежать від функції споживання f.

Багато кон'юнктурних моделей навіть для короткострокового прогнозування (менше 3 років) використовують значно більше зміних та рівнянь, але їх логічна природа близька до моделі Кейнса (1.8) або (1.9).

Дата добавления: 2014-01-04