Бином Ньютона

Теорема. (a + b)ⁿ = aⁿ + a^n-1b + a^n-2b² +…+ bⁿ =

= . Эта формула называется биномом Ньютона.

Первое доказательство (индукцией по п).

п = 1. Утверждение очевидно: (a + b)¹ = a¹ + b¹ = a + b.

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п.

(a + b)ⁿ = (a + b)×(a + b)^n-1 =(a + b)× = =++= = a^п ++ b^п .



Второе доказательство (для умных, но ленивых).

Раскроем скобки в выражении

(a + b)ⁿ = (a + b)×(a + b)×…× (a + b), (1.1)

выбирая из каждого двучлена справа или a или b, и записывая их в произведение с сохранением порядка множителей. Так, например произведение aababb… получится, если мы выберем из первого двучлена a, из 2-го a, из 3-го b, из 4-го a, из 5-го b, из 6-го b и т.д. Если мы теперь все множители a запишем слева, а множители b справа, то получим одночлен вида a^n-kb^k. Все одночлены такого вида получаются при выборе из п двучленов в (1.1) подмножества (сочетания) из k двучленов, в которых при раскрывании скобок мы выбираем в качестве множителей элементы b (а из остальных двучленов, естественно, выбираются в качестве множителей элементы a). Количество таких подобных одночленов равно количеству сочетаний из n по k. Если мы их всех просуммируем, то получим слагаемое в разложении бинома Ньютона.



Утверждение 1.4.

а) +++…+= 2 ⁿ,

б) +++…= +++…= 2 ^n-1

Доказательство а). Из бинома Ньютона при a = b =1

(1 + 1)ⁿ = + + +…+ .

Доказательство а) для умных, но ленивых. Сумма

+++…+равна количеству всех подмножеств в множестве Х из п элементов, включая Æ и само множество Х.

Это количество можно посчитать иначе. Для выделения любого подмножества в Х мы для каждого элемента из Х должны указать, входит этот элемент в наше подмножество или нет. Таким образом, для каждого элемента имеется 2 возможности – быть включенным в любое подмножество или нет, а для п элементов из Х имеется 2 ⁿ возможностей быть включенными или нет в различные подмножества. Включая или не включая произвольный элемент в подмножества, мы получаем различные подмножества. Таким образом, количество различных подмножеств в Х равно 2 ⁿ.



Упражнение. Доказать утверждение 1.4, б) с помощью формулы бинома Ньютона при a = 1, b = - 1.

Лекция 2.

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Будем считать известными множества натуральных чисел N, целых чисел Z, рациональных чисел Q, действительных чисел R.

Определение. Комплексным числом будем называть упорядоченную пару действительных чисел (a,b), a,b Î R.

Множество комплексных чисел будем обозначать буквой С.

С = {(a,b), a,b Î R }.

I. Определим на множестве С операции:

1. по определению (a,b)+ (с,d) = (a+с, b+d) – операция сложения,

2. по определению (a,b)× (с,d) = (aс - bd, ad+bc) – операция умножения,

3. для с Î R по определению с× (a,b)= (ca, cb) – операция умножения комплексных чисел на действительные.

II. Утверждение. Для определенных на С операций выполняются свойства:

1. (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ +(z₂ + z₃) " z₁, z₂, z₃ Î C, z₁ =(a₁,b₁),

z₂ = (a₂,b₂), z₃ = (a₃,b₃),

2. $ элемент 0 _С = (0,0)Î C такой, что 0 _С +z = z + 0 _С = z " zÎ C. 0 _С называется нейтральным элементом в C по сложению.

3. " z Î C, z =(a,b), $ z¢ Î C такой, что z+ z¢ = 0 _С. В самом деле, z¢ = (- a, - b). z¢ обозначается как - z и называется элементом, противоположным к z.

4. z₁ + z₂ = z₂ + z₁ " z₁, z₂ Î C,

5. (z₁ z₂) z₃ = z₁ (z₂ z₃) " z₁, z₂, z₃ Î C,

6. $ элемент 1 _С = (1,0)Î C такой, что 1 _С × z = z × 1 _С = z " zÎ C. 1 _С называется нейтральным элементом в С по умножению или единицей.

7. " z Î C, z ¹ 0 _С, z =(a,b), $ z₁ Î C такой, что z z₁ = 1 _С. В самом деле, z₁ = (a/(a² + b²), - b/(a² + b²)). z₁ обозначается как z^-1 и называется элементом, обратным к z.

8. z₁ z₂ = z₂ z₁ " z₁, z₂ Î C,

9. (z₁ +z₂)z₃ = z₁ z₃ + z₂ z₃, z₁(z₂ + z₃)= z₁ z₂+ z₁z₃ " z₁, z₂, z₃Î C.

i. c(z₁ + z₂) = cz₁ + cz₂ " z₁, z₂ Î C, " c Î R,

ii. (c + d)z = cz + dz " c, d Î R, " zÎ C,

iii. (c d)z = c(dz) " c, d Î R, " zÎ C,

iv. 1 _С z = z " zÎ C.

Очевидно, все эти свойства следуют из определений операций и свойств действительных чисел, которые мы считаем известными.

Упражнение. Доказать свойства 1 ¸ 9 и i ¸ iv.

Множество (не обязательно числовое), на котором

I. определены операции, обозначаемые знаками + и ×,

II. и для которых выполнены свойства 1 ¸ 9, называется полем.

Очевидно, полями являются множества Q и R. Теперь мы видим, что множество С также является полем.

Обозначим число (0, 1)Î C буквой i. Число i называется мнимой единицей. Очевидно, " zÎ C, z = (a,b) = a (1, 0) + + b (0, 1)= a× 1 _С + b i. Обычно единицу в качестве множителя не пишут. Поэтому и мы будем записывать число z в виде

z = a + b i, а единицу 1 _С, когда это не вызовет недоразумений, мы будем записывать в виде 1.

Легко видеть, что i² = - 1. Для комплексного числа z = a + b i будем называть комплексное число a - b i комплексно сопряженным к z и обозначать . Очевидно,

а) =+, б) = , в) z = a² + b².

Определение. Модулем комплексного числа z = a + b i называется число | z | =.

Так как z = | z | ², то | z₁ z₂ | ² = z₁z₂ = z₁z₂ = | z₁ | ² | z₂ | ²,

и | z₁ z₂ | = | z₁ | ×| z₂ |.

Комплексное число a + b i можно изображать точкой на плоскости с координатами (a, b) или вектором на плоскости с координатами (a, b). Легко видеть, что комплексные числа складываются как векторы по правилу параллелограмма (или по правилу треугольника). Очевидно (см. рис.),

a + b i = r cosj +r sinj ×i = r(cosj +i sinj).

Запись комплексного числа в виде r(cosj +i sinj) называется тригонометрической формой записи. Угол j называется аргументом комплексного числа (определен неоднозначно). Очевидно, r = | z |.

Легко проверить, что r₁(cosj₁+i sinj₁)× r₂(cosj₂+i sinj₂)=

= r₁r₂(cos(j₁+j₂)+i sin(j₁+j₂)). Отсюда следует

формула Муавра: (cosj +i sinj)ⁿ = cos nj + i sin nj,

а также ещё раз мы получаем, что | z₁ z₂ | = r₁r₂ = | z₁ | ×| z₂ |.

Дата добавления: 2014-01-04