Доказательство

Þ. Пусть L₁L₂ ' х, х ¹ 0 Þ х = х + 0, хÎ L₁, 0ÎL₂,

х = 0 + х, 0Î L₁, х Î L₂. Следовательно, для х представление неоднозначно, то есть сумма подпространств – не прямая.

Ü. Пусть L₁L₂ = {0}, и для а Î L₁+ L₂ имеем два представления а = х₁ + х₂ = у₁ + у₂, х₁ , у₁ Î L₁, х₂, у₂Î L₂. Тогда х₁ – у₁ = у₂ – х₂Î L₁L₂ = {0} Þ х₁ = у₁, х₂ = у₂. Следовательно, оба представления для а совпадают, и сумма подпространств – прямая.

ÿ

Упражнение. Доказать, что L₁ +…+L_k = L₁ Å…Å L_k Û

(L₁ +…+L_i)L_i+1 = {0} " i =1,2,…,k-1.

Теорема 2. Пусть {e₁ ,…,e_k} – базис подпространства L₁, {e_k+1 ,…,e_m} – базис подпространства L₂. Тогда

L₁ + L₂ = L₁ Å L₂ Û {e₁ ,…,e_k}{e_k+1 ,…,e_m} – базис подпро-

странства L₁ + L₂.

Дата добавления: 2014-01-04