Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Линейных операторов




Собственные векторы и собственные значения

Мы установили, что упростить вид матрицы л.о. j: L® L можно, если у этого оператора существует хотя бы одно инвариантное подпространство в L. Еще лучше с упрощением матрицы дело обстоит тогда, когда в L существует два j- инвариантных подпространства и сумма их – прямая. Вообще, чем больше в L имеется j- инвариантных подпространств, сумма которых – прямая, тем сильнее можно упростить матрицу л.о. j. Самая лучшая ситуация с упрощением матрицы имеется тогда, когда L равно прямой сумме п одномерных j- инвариантных подпространств.

Рассмотрим вопрос, как находить одномерные j- инвари-

антные подпространства. Пусть V – одномерное подпро­стра-

нство, V = <s >, s ¹ 0 Þ V= {a s | a Î P }. Очевидно, V

j- инвариантное подпространство Û j VÌ V Û j sÎ VÛ

$lÎ P такой, что j s =l s.

Определение. Пусть L – линейное пространство над полем Р, j: L® L – линейный оператор. Вектор sÎ L называется собственным вектором л.о. j, если s ¹ 0 и $lÎ Р такое, что j s = ls. l называется собственным значением (собственным числом) оператора j.

По определению 0L не является собственным вектором, хотя j 0L = 0L = l0L " Р.

Пример. Для L = С(-¥, +¥) - линейного пространства беско­нечно дифференцируемых функций на числовой прямой, и л.о. j = d/dx: С(-¥, +¥) → С(-¥, +¥) вектор еkx является собственным вектором с собственным значением k.

Очевидно, что нахождение собственных векторов и нахо­ждение одномерных j- инвариантных подпространств – эк­вивалентные задачи.

Рассмотрим, как находить собственные векторы. Пусть

j: Ln ® Ln - линейный оператор, е = {е1,…, еn } - базис в Ln.

Тогда х – собственный вектор для j Û $l Î Р такое, что j х=l х, и х¹ 0 Û (l×id - j)х= 0, и х¹ 0 Û хÎ Ker(l×id - j), и х ¹ 0. Таким образом, все ненулевые векторы из

Ker(l×id - j) явля­ются собственными векторами оператора j, соответствую­щими собственному значению l. Но в силу теоремы 6 из п.15 Ker(l×id - j) ¹ {0} Û det(l×id - j) = 0 Û

det [ l×id - j ] = det(lE - [] ) = 0.

Рассмотрим cj(t)= det [ t×id -j ] = det(tE - [] ) - многочлен от t степени n c коэффициентами в Р. Очевидно,

(l×id - j)х = 0Û (lE – [ j ] [ x ] = [ 0 ], причем ненулевые реше­ния этой однородной системы линейных уравнений сущест­вуют Û l - корень многочлена cj(t).

Заметим, что в силу леммы из п. 14.2. det(t×id - j) не зависит от базиса e.

Определение. Многочлен c (t)= cj(t) называется харак­теристическим многочленом оператора j или матрицы [ j ], а уравнение c(t) = 0 называется характеристическим уравнением.

Таким образом, для нахождения собственных векторов линейного оператора j надо:

1. Найти корни l1,…, lk характеристического многочлена c (t) линейного оператора j, лежащие в Р.

2. Для каждого li , i = 1,…,k, решить однородную систему линейных уравнений (liE - [ j ] [ x ] = [ 0 ]. Её фундаментальная система решений даст множество линейно независимых собственных векторов с собственным значением li .

Замечание. Если Р – алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен обязательно имеет некоторый корень l в Р, и, следовательно, для l существует собственный вектор, то есть любой корень является собственным значением оператора j. И значит, "j $ собственный вектор.

Если Р – не алгебраически замкнутое поле, то c (t) может не иметь корней в Р, и тогда, соответственно, в L не будет собственных векторов для оператора j.

Теорема. Характеристические многочлены эквивалентных матриц совпадают.

Доказательство. Пусть А~В Þ $ Т: А = Т -1ВТ Þ

cA(t)= |tE – A| = |tE - Т-1ВТ|=|Т-1(tE – В)Т|=|Т-1|×|(tE – В)|×|Т|= = |(tE – В)|= cB(t).

ÿ

Легко видеть, что

cA(t)= |tE – A| = =

= (t – a11)×(t – a22)×… × (t – ann)+ слагаемые степени £ (n-2) =

= tn - (a11+ a22+…+ ann) tn-1 + …+ (-1)ndetA.

Определение. Для квадратной матрицы А =(аij) порядка n следом матрицы называется tr A = а1122+…+ аnn.

По теореме, если А~ В, то trA=trВ, так как cA(t)= cВ(t), а trA – второй коэффициент характеристического многочлена. Очевидно, что и все остальные коэффициенты характеристических многочленов для эквивалентных матриц совпадают, в том числе и последние, но это мы уже знаем. Отсюда, в частности, следует, что если trA ¹ trВ, то А и В не эквивалентны.

 

Лекция 28.

 

16.5. Теорема Гамильтона – Кэли. Любая квадратная матрица А является корнем своего характеристического многочлена: cA(А)=0.

Доказательство. Пусть п – порядок матрицы А, и В=(bij) – присоединенная матрица матрицы tE – A: B = (tE – A)* (см. 9.4). Тогда bij – алгебраические дополнения к элементам матрицы tE– A, то есть миноры (с точностью до знака) (п-1) -го порядка матрицы tE– A. Значит, bij – многочлены от t степени

£ п-1. Поэтому bij имеют вид bij = b(0)ij+ b(1)ijt + …+ b(п-1)ijtп-1, где все b(k)ij Î Р. Определим матрицы В(k) с элементами из Р: В(k) = (b(k)ij), k = 0, 1,…,п - 1. Тогда В = В(0)+ tВ(1))+…+ tп-1В(п-1). По свойству присоединенной матрицы

В×(tE – A) = |tE – A|×Е. (16.3)

Пусть cA(t)= |tE – A|= с0 + с1t+…+ сп-1 tп-1+ tп. Из формулы

(16.3) получаем:

(0)+ tВ(1) +…+ tп-1В(п-1))(tE– A) = (с0 + с1t+…+ сп-1 tп-1+ tп)×Е. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях t и запишем результат в таблицу:

При t0: (0)А = с0Е ×А0
При t1: (1)А+ В(0) = с1Е ×А
При t2: (2)А+ В(1) = с2Е ×А2
....... .......... ...... .....
При tп-1: (п-1)А+ В(п-2) = сп-1Е ×Ап-1
При tп: В(п-1) = спЕ ×Ап

Затем домножим все наши равенства на степени матрицы А, стоящие справа, и сложим их. Получим:

0 = с0Е+ с1А+…+ сп-1 Ап-1+ Ап =cA(А)×

ÿ

Следствие. [ cj(j) ] = c [ j ] ( [ j ] )= 0 Þ cj(j)= 0.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 419; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.