Двофакторний дисперсійний аналіз

Більш складним є перевірка впливу декількох факторів на певну ознаку. Так, нехай необхідно дослідити наявність впливу факторів і на ознаку . Для цього доцільно застосувати двофакторний дисперсійний аналіз. Результати вимірювань і проміжних обчислень двофакторного аналізу зручно здійснювати в таблиці, кожний рядок якої відповідає сталому рівню фактора , а кожний стовпець – рівню фактора . Вимірювання здійснюються разів для кожного з рівнів факторів і при фіксованих рівнях факторів і , відповідно. Двофакторна модель має вигляд:

,

де − конкретне значення ознаки , якого вона набуває в -му вимірюванні () при -му рівні фактора () та -му рівні фактора ();

− вибіркова середня, тобто загальна середня за всім обсягом вибіркової сукупності;

− доданок, що обумовлений впливом -го рівня фактора ;

− доданок, що обумовлений впливом -го рівня фактора ;

− доданок, що обумовлений спільним впливом -го рівня фактора та -го рівня фактора ;

− помилка моделі, яка обумовлена варіацією випадкової величини в межах блоку; вважається, що помилки розподілені за нормальним законом N .

Метою вимірювань є дослідження впливу кожного з факторів і окремо, а також їх одночасний вплив на ознаку . Розв’язання цієї задачі передбачає виконання певного обсягу обчислень, які проводяться у наступній послідовності.

1. Для кожної пари значень факторів і обчислюють блочні середні (, ), а також визначають середні значення ознаки за стовпцями () та за рядками (). Ці значення порівнюють з вибірковою середньою ознаки , що обчислюється за формулою:

.

2. За всіма цими середніми обчислюють виправлені дисперсії. Відповідно отримують:

, яка є виправленою дисперсією ознаки , що зумовлена впливом на неї лише фактора ;

, яка є виправленою дисперсією, що зумовлена впливом на ознаку лише фактора ;

, яка є виправленою дисперсією, що зумовлена одночасним впливом на ознаку і фактора , і фактора ;

, яка є виправленою дисперсією, що обумовлена дією на ознаку факторів, вплив яких не розглядається в межах даної моделі.

3. Для цих дисперсій визначається емпіричні значення критерію Фішера: ; ; , які при рівні значущості порівнюють з критичними точками статистики Фішера – Снедекора: ; та , відповідно. Якщо , то нульова гіпотеза про відсутність впливу на ознаку фактора відхиляється. Якщо , то нульова гіпотеза про відсутність впливу фактора В відхиляється. Якщо , то нульова гіпотеза про відсутність спільного впливу факторів А і відхиляється.

Приклад. У чотирьох лабораторіях здійснювався експеримент з опріснення морської води за допомогою трьох опріснювачів. Кожний експеримент для кожного опріснювача в кожній лабораторії проводився тричі. Залишковий вміст солі у відсотках (після опріснювання) наведено в таблиці (табл. 14.10).

При рівні значущості перевірити, чи є статистично значущим вплив факторів і окремо та спільний вплив факторів і на результат опріснювання.

Таблиця 14.10

Залишковий вміст солі, %

Ступінь впливу	Ступінь впливу
	3,6; 3,9; 4,1	2,9; 3,1; 3,0	2,7; 2,5; 2,9
	4,2; 4,0; 4,1	3,3; 2,9; 3,2	3,7; 3,5; 3,6
	3,8; 3,5; 3,6	3,6; 3,7; 3,5	3,2; 3,0; 3,4
	3,4; 3,2; 3,2	3,4; 3,6; 3,5	3,6; 3,8; 3,7

Розв'язання. Використовуючи дані табл. 14.10, побудуємо таблицю середніх (табл. 14.11). Потім за табл. 14.11 визначимо всі види питомих дисперсій, для чого зручно надавати результати проміжних розрахунків у вигляді таблиці (табл. 14.12).

Таблиця 14.11

Дата добавления: 2014-01-04