КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Сопряженные линейные операторыЗамечания. 1. Изоморфизм Ф является каноническим, так как он не зависит от базиса. 2. Изоморфизм Ф позволяет перенести скалярное произведение с Еп на (Еп)* по правилу (fa, fb) = (a, b). Таким образом, (Еп)* становится евклидовым пространством, а Ф - изоморфизмом евклидовых пространств. Пусть j: Еп ® Еп - линейный оператор. Рассмотрим функцию f(x) = (a, j x). Упражнение. Проверить, что f – линейная функция, то есть f Î (Еп)*, и следовательно, f = fb при некотором bÎ Еп. Будем считать, что b = j*a, где j*: Еп ® Еп - некоторое отображение. Из определения j* получаем, что (a, j x) = (b, x) = (j*a, x) или (j x, а) = (х, j*a). Утверждение. j*: Еп ® Еп – линейный оператор. Доказательство. (х, j*(a+b)) = (j x, a+b) = (j x, a) + + (j x, b) = (х, j*a) + (х, j*b) = (х, j*a + j*b) Þ j*(a+b) = = j*a+j*b (см. утверждение из п. 20.1). Аналогично, (х, j*(aa)) = (j x, aa) = a(j x, a)= a (х, j*a) = (х, aj*a) Þ j*(aa) = aj*a. ÿ Определение. Линейный оператор j*: Еп ® Еп называется сопряженным к линейному оператору j. Очевидно, j** = j, так как (j х, у) = (х, j*у) = (j**х, у). Заметим, что при отождествлении Ф: а «fa получаем: (a, j x) = (j*a, x), то есть fa(j x) = j*(fa)(x) Þ j*(fa)= fa◦j. Теорема. Для линейных операторов j и y на Еп эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих условий y = j*, j = y*): 1. (j x, у) = (х, yу) " х, у Î Еп. 2. (j еi,еj)= (еi,y еj) " i, j " (для некоторого) базиса е в Еп. 3. (j иi,иj)= (иi,y иj) " i, j " (для некоторого) ортонормированного базиса и в Еп. 4. [] t ×= × [], или же [] = -1× [] t ×, где - матрица Грама для базиса е. (Доказать, что Г-1 $ - см. также п.24.3). 5. [] = [] t. Доказательство. Очевидно, из 1 Þ 2 (как частный случай), из 2 Þ 1 ввиду линейности j и скалярного произведения. Аналогично, 1 Û 3. Проверим, что 2 Û 4. В самом деле, если [] = (аks), [] = (bks), то (j еi,еj) = (,еj) = = = ( [] t × )ij – (i,j)- й элемент матрицы [] t ×. А (еi,y еj)= (еi,) == ( × [] )ij – (i,j)- й элемент матрицы × []. Отсюда 2 Û 4. Аналогично проверяется, что 3 Û 5. ÿ
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 435; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |