Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы

Пусть e ¢ = {e¢₁,…,e¢_n} – ещё один базис в L, и = T =

= (t_ij) - матрица перехода от базиса e к базису e ¢:

. Тогда " x, yÎ L имеем , и

f(x,y) = = =

= . Следовательно, из единственности матрицы билинейной формы, = .

Следствие. det = det × (det T)².

Определение. Пусть f(x, y) - билинейная форма на L. Рангом билинейной формы f называется ранг ее матрицы в каком-либо базисе пространства L: rg f = rg .

Корректность определения следует из того, что ранг матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса: rg = rg для любых базисов e и e¢, так как умножение матрицы на невырожденные матрицы T ^t и T слева и справа соответственно не меняет ранга матрицы билинейной формы.

Дата добавления: 2014-01-04