Доказательство. Пусть е – произвольный базис в линейном пространстве L над R

Критерий Сильвестра.

Пусть е – произвольный базис в линейном пространстве L над R. Для квадратичной формы F обозначим через М_k левый угловой минор порядка k матрицы [ F ] в базисе е: М_k = .

Теорема (критерий Сильвестра положительной определен­ности квадратичной формы). F > 0 Û все М_k > 0.

Þ. Пусть F > 0. Тогда в некотором базисе е¢ форма F имеет

нормальный вид, и = Е. Если Т =, то = Т ^t T = =Т ^tЕТ= Т ^tТ, и det [ F ] = |Т ^tТ| = |T|² > 0. Рассмотрим подпространство L_k= <е₁,е₂,…,е_k>. Очевидно, ограничение формы F на это подпространство > 0 Þ det = М_k > 0 " k.

Ü. Пусть все М_k > 0. Тогда det [ F ] = М_п > 0. Рассмотрим подпространство L_п-1 = <е₁,…,е_п-1>. Заменим базисный вектор е_п на базисный вектор и_п, f- ортогональный к L_п-1. Для этого будем искать и_п в виде и_п = е_п - a₁е₁ -…- a_п-1е_п-1, причём потребуем, чтобы при i =1,…, п-1 f(и_п , е_i)= 0. Запишем эти уравнения в виде f(е_п - a₁е₁ -…- a_п-1е_п-1, е_i)= 0 или в виде f(a₁е₁ +…+ a_п-1е_п-1, е_i) = f(e_п , е_i). Воспользовавшись линейностью f по первому аргументу, получим систему

(п-1)-го линейного уравнения с (п-1) неизвестным a₁,…,a_п-1: a₁f(е₁,е_i)+…+a_п-1f(е_п-1, е_i)= f(e_п , е_i), i =1,…, п-1. Определителем этой системы является М_п-1 ¹ 0. Поэтому у этой системы существует единственное решение, которое можно найти, например, по правилу Крамера. Очевидно, система векторов е¢ = {е₁,…,е_п-1,u_п} линейно независима, то есть является базисом в L. В этом базисе

, и det = М_п-1 × l_п > 0. Так

как М_п-1>0, то l_п> 0. Далее мы от е_п-1 перейдем к и_п-1, f- ор- тогональному к L_п-2, и получим l_п-1> 0, и т.д. В конце концов мы получим базис и, в котором = diag(l₁,…, l_n),

F(y) = l₁y₁²+…+l_ny_n². Так как все l_i > 0, то F > 0.

ÿ

Лекция 36.

Дата добавления: 2014-01-04