Приведение пары форм

Рассмотрим линейное пространство L^п над полем R с ба-

зисом е. Пусть F, G – квадратичные формы, причем G > 0, а f, g – соответствующие симметричные билинейные формы. Так как g – симметричная билинейная положительно определенная функция, то можно считать, что g – скалярное произведение, g(x,y)= (x,y)_g, а L^п с этим скалярным произведением - евклидово пространство: L^п = Е^п. По доказанному в п.25.1, в евклидовом пространстве Е^п существует ортонормированный (в смысле скалярного произведения g) базис u, в котором форма F имеет канонический вид (а G имеет, естественно, нормальный вид). Если в этом базисе вектор

v =(y₁,y₂,…,y_n), то G(v)= y₁²+ y₂² +…+y_n² (так как базис ортонормированный в смысле g), и F(v) = l₁y₁² +l₂y₂² +…+l_ny_n². Соответственно, если в этом базисе вектор w = (z₁, z₂,…,z_n), то g(v,w)=y₁z₁+ y₂z₂+…+y_nz_n, f(v,w)=l₁y₁z₁+l₂y₂z₂+…+l_ny_nz_n.

Таким образом, нами доказана

Теорема. Для любой пары квадратичных форм F и G,

G > 0, в линейном пространстве L^п над полем R существует базис и, в котором форма F имеет канонический вид, а G имеет нормальный вид, то есть – диагональная матрица, а = E. Это означает, что существует матрица Т= перехода к новому базису такая, что Т ^t Т = diag(l₁,l₂,…,l_n), Т ^t Т =Е.

Так как коэффициенты l₁,…,l_n формы F – это собственные значения линейного оператора j с матрицей = , то найти их можно, решая характеристическое уравнение для (неизвестной) матрицы = , то есть уравнение

det( -lE) = 0. Но = Т ^t Т, Е = Т ^t Т, и

det( -lE) = det(Т ^t( - l )Т)= 0 Û det( - l )= 0 – это уже уравнение для известных (заданных) матриц

и . Многочлен = det( - l ) называется характеристическим многочленом пары форм F, G, G > 0, а уравнение =0 называется характеристическим уравнением пары форм. Таким образом, для нахождения коэффициентов l₁,…,l_n формы F нужно решить характеристическое уравнение пары форм.

Векторы базиса и = {и₁,…, и_n} – это собственные векторы линейного оператора j, и найти все и_i можно, решая однородные системы линейных уравнений ( - l_iE)= [ 0 ] (с

неизвестной матрицей в неизвестном базисе и). Но

( - l_iE)= Т ^t( - l_i )Т = Т ^t( - l_i )= [ 0 ] Û ( - l_i )= [ 0 ] – это уже СЛУ с известными матрицами , . Различным собственным значениям соответствуют g- ортогональные друг другу собственные векторы, и, если dim Ker( - l _iE) = dim Ker( - l _i ) = 1, то найденный вектор x необходимо лишь нормировать (по g), то есть разделить его на длину . Если же имеются одинаковые собственные значения, то есть кратные корни l_i характеристического уравнения, то dim Ker( - l _iE)> 1, и найденную фундаментальную систему решений для СЛУ

( - l_i )= [ 0 ] необходимо ортонормировать в смысле g, например, по Граму-Шмидту.

Лекция 37.

26. ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ

Дата добавления: 2014-01-04