Нормальный вид эрмитовых форм

Пусть f(x, y) – эрмитова форма на линейном пространстве L над полем С, F(x) – соответствующая квадратичная форма.

Теорема. В L существует f- ортогональный базис.

Доказательство аналогично доказательству из п.24.6.

Пусть e¢ = {е₁,…,е_n} - f- ортогональный базис, и пусть f(е_k, е_k) = l_k "k. Тогда в этом базисе = diag(l₁,…,l_n), где все l_k Î R, f(x, y) = , F(x) =, и такой вид эрмитовых форм f и F называется каноническим. Следовательно, любая эрмитова полуторалинейная форма и любая эрмитова квадратичная форма эквивалентны формам канонического вида. То есть существует линейная замена координат, которая приводит произвольную эрмитову полуторалинейную форму (квадратичную форму) к каноническому виду.

Пусть f(е_k, е_k) = l_k ¹ 0 при k =1,…,r и f(е_k, е_k)= 0 при

k = r+1,…,п. Тогда r = rg f = rgF, и r от базиса не зависит.

Будем считать теперь, что форма F имеет канонический вид F(x) = l₁ | х₁ | ²+…+l_s | x_s | ² – l_s+1 | х_s+1 | ²–…–l_s+t | х_s+t | ², где все l_k > 0, s + t = r. Пусть m_k = при k = 1,…,r, m_k = 1 при k = r+1,…,п. Тогда после замены координат z_k = m_kx_k " k получим F(x)= | z₁ | ²+…+ | z_s | ²– | z_s+1 | ²-…- | z_s+t | ² - такой вид квадратичной формы называется нормальным.

Таким образом, имеет место

Теорема. В линейном пространстве L над полем С для

любой эрмитовой формы F существует базис, в котором форма имеет нормальный вид F(z) = z₁²+…+z_s²– z_s+1²-…-z_s+t². Соответствующая эрмитова полуторалинейная форма f имеет нормальный вид f(z, w) = z₁w₁+…+z_sw_s – z_s+1w_s+1-…- z_s+tw_s+t.

Как и в п.24.6 для эрмитовых форм F можно дать определения положительно определённой или положительной формы (F > 0), отрицательно определённой или отрицательной формы (F < 0), неотрицательно определённой формы (F ³ 0), неположительно определённой формы (F £ 0), неопределённой формы. Во всех этих случаях условия на s и t будут такие же, как и в п.24.6.

По аналогии с п.24.7 для эрмитовых форм формулируется и доказывается закон инерции, определяется положительный индекс инерции формы I⁺(F)= s и отрицательный индекс инерции формы I ^-(F) = t.

Так же эрмитовы квадратичные формы имеют 2 числовых инварианта I⁺ = s, I ^- = t, которые независимы и составляют полную систему инвариантов.

Аналогично как и в п.24.8 формулируется и доказывается критерий Сильвестра. Необходимо лишь заметить, что угловые подматрицы эрмитовой матрицы являются эрмитовыми, а определители эрмитовых матриц М_k Î R.

Лекция 38.

Дата добавления: 2014-01-04