![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
І, навпаки, рівняння (5) при довільних коефіцієнтах А, В, С (А і В не дорівнюють нулю одночасно) визначає деяку пряму в прямокутній системі координат Оху
Теорема 1. У прямокутній системі координат Оху будь-яка пряма задається рівнянням першого степеня
Лінії, що визначаються в прямокутній системі координат рівнянням першого степеня, називаються лініями першого порядку. Таким чином, кожна пряма є лінією першого порядку і, навпаки, кожна лінія першого порядку є пряма. Рівняння виду Ах + Ву + С = 0 називається загальним, або пов ним, рівнянням прямої. При різних значеннях А, В, С воно визначає різні прямі. Приклад. Пряму задано загальним рівнянням Ø Розв’язуючи загальне рівняння прямої відносно у, дістаємо рівняння з кутовим коефіцієнтом:
Тут Дослідження загального рівняння прямої. Розглянемо три частинні випадки, коли рівняння Ах + Ву + С = 0 неповне, тобто якийсь із його коефіцієнтів дорівнює нулю. 1. С = 0; рівняння має вигляд Ах + Ву = 0 і визначає пряму, що проходить через початок координат. 2. В = 0 (А ¹ 0); рівняння має вигляд Ах + С = 0 і визначає пряму, паралельну осі Оу. Згідно з теоремою 1 це рівняння зводиться до вигляду х = а, де а =С/А, а — величина відрізка, що його відтинає пряма на осі Ох (див. рис. 3). Зокрема, якщо а = 0, то пряма збігається з віссю Оу. Таким чином, рівняння x = 0 визначає вісь ординат. 3. А = 0
Рис. 4 Нехай тепер дано рівняння Ах + Ву + C = 0 за умови, що жодний із коефіцієнтів F, B, C не дорівнює нулю. Перетворимо його до вигляду
Позначивши
Рівняння (6) називається рівнянням прямою у відрізках. Числа а і b є величинами відрізків, що їх пряма відтинає на осях координат. Ця форма рівняння зручна для геометричної побудови прямої. Приклад. Пряму задано рівнянням Ø Для даної прямої рівняння у відрізках має вигляд:
Рис. 31 Щоб побудувати цю пряму, відкладемо на осях координат Ох і Оу відрізки, величини яких відповідно дорівнюють а = –5, b = 3, Кут між двома прямими Розглянемо дві прямі L 1 і L 2. Нехай рівняння L 1 має вигляд
Рис. 6 З геометричних міркувань встановлюємо залежність між кутами
або
Формула (7) визначає один із кутів між прямими; інший кут дорівнює Приклад. Прямі задано рівняннями Ø Очевидно,
Таким чином, один із кутів між даними прямими дорівнює Умови паралельності і перпендикулярності Якщо прямі L 1 і L 2 паралельні, то Таким чином, умовою паралельності двох прямих є рівність їхніх кутових коефіцієнтів. Якщо прямі
У цьому випадку Таким чином, умова перпендикулярності двох прямих полягає в тому, що їхні кутові коефіцієнти взаємно обернені за величиною і протилежні за знаком. Приклад. Показати, що прямі 4 х – 6 у + 7=0 і Ø Звівши рівняння кожної прямої до вигляду рівняння з кутовим коефіцієнтом (2), дістанемо:
Кутові коефіцієнти цих прямих рівні між собою: Приклад. Показати, що прямі Ø Звівши рівняння до вигляду рівняння з кутовим коефіцієнтом (2), дістанемо:
Тут Оскільки Відстань від точки до прямої Теорема 2. Відстань d від даної точки M(x0; y0) до прямої L, заданої загальним рівнянням Ах + Ву + С = 0, визначається формулою:
Приклад. Нехай пряму L задано рівнянням Ø За формулою (8) знаходимо
Таким чином, шукана відстань дорівнює 2. Взаємне розташування двох прямих на площині Нехай прямі L 1 і L 2 задано рівняннями:
Розглянемо рівняння (9) як систему двох рівнянь першого степеня з двома невідомими х і у. Розв’язавши цю систему, знайдемо Нехай Нехай тепер 1) 2) У першому випадку маємо
де У другому випадку припустимо, наприклад, Отже, дві прямі на площині або перетинаються в одній точці, або збігаються, або паралельні. 1. Скласти рівняння прямої, що відтинає на осі Оу відрізок Відповідь. а) у = х + 3; б) у = – х + 3. 2. Визначити параметри k і b для кожної з прямих: Відповідь. а) 3. Визначити параметри k і b прямої, що проходить через точку А (2; 3) і утворює з віссю Ох кут 45°. Скласти рівняння цієї прямої. Відповідь. 4. Звести до вигляду рівнянь у відрізках на осях рівняння прямих: а) 2 х – 3 у = 6; б) 3 х – 2 у + 4 = 0. Відповідь. а) х/3 – у/2 = 1; б) 3х – 2у + 4 = 0. 5. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки А (–1; 3) і В (4; –2). Відповідь. 6. Скласти рівняння прямих, заданих параметрами: а) Відповідь. а) 7. Визначити точки перетину прямої Відповідь. (6; 0), (0; –4). 8. Знайти точку перетину прямих Відповідь. (3; –5). 9. Сторони АВ, ВС і АС трикутника АВС задано відповідно рівняннями 4 х + 3 у – 5 = 0, х – 3 у + 10 = 0, х – 2 = 0. Визначити координати його вершин. Відповідь. А (2; –1), В (–1; 3), С (2; 4). 10. Скласти рівняння двох прямих, що проходять через точку А (4; 5), так, щоб одна була паралельна осі Ох, а інша — осі Оу. Відповідь. у = 5, х = 4. 11. Визначте кут між прямими: а) Відповідь. a) arctg 3/4; б) 45°; в) 45°; г) 90°. 12. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку А (–1; 1) під кутом 45° до прямої 2 х + 3 у = 6. Відповідь. 13. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки А (6; 2) на пряму Відповідь. 14. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку Відповідь. 15. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих Відповідь. 16. Дано трикутник із вершинами А (–2; 0), В (2; 4) і С (4; 0). Скласти рівняння сторін трикутника, медіани АЕ і висоти AD. Знайти довжину медіани АЕ. Відповідь. АЕ: AD: 17. Знайти відстані точок А (4; 3), В (2; 1), С (1; 0) і О (0; 0) від прямої
Побудувати точки і пряму. Відповідь. 2,8;0; 1,4; 2. 18. Довести, що прямі Відповідь. 6,5. Вказівка. На одній із прямих взяти довільну точку і знайти її відстань від іншої прямої. 19. Знайти k з умови, що пряма y = kx + 5 віддалена від початку координат на відстань Відповідь.k = ±2. 20. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А (2; 4) і віддалена від початку координат на відстань Відповідь. 21. Через початок координат проведено пряму на однаковій відстані від точок А (2; 2) і В (4; 0). Знайти цю відстань. Відповідь. Рівняння прямих: 22. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих Відповідь. 23. Даний трикутник з вершинами А (2; 3), В (4; 8) і С (3; –8). Складіть рівняння його сторін, медіан і висот. Відповідь. АВ: АС: ВС: Рівняння медіан:
Рівняння висот:
1. Що називається кутом нахилу прямої до осі Ох? 2. Що називається кутовим коефіцієнтом прямої? 3. Виведіть рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. 4. У чому полягає геометричний зміст параметрів k і b рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом? 5. Вивести рівняння прямої, що проходить через задану точку і має даний кутовий коефіцієнт. 6. Вивести рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. 7. Що називається загальним рівнянням прямої? 8. Довести, що рівняння прямої завжди є рівнянням першого степеня і, навпаки, усяке рівняння першого степеня є рівнянням прямої. 9. Дослідіть загальне рівняння прямої 10. Як записуються рівняння прямих, паралельних осям Ох і Оу, а також рівняння самих осей координат? 11. Як перетворити загальне рівняння прямої в рівняння з кутовим коефіцієнтом? 12. Вивести формулу, якою подається кута між двома прямими. 13. Сформулювати умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. 14. Як визначається відстань від точки до прямої? 15. Як знайти точку перетину двох прямих? 16. В яких випадках дві прямі на площині або збігаються, або паралельні? 1. Зобразити на координатній площині наведені далі точки: 2. Не будуючи точку А (1; –3), з’ясуєте, в якій чверті вона міститься. 3. В яких чвертях може міститися точка, якщо її абсциса додатна? 4. На осі Ох узято точку з координатою (–5). Які її координати на площині? 5. Точки А (3; 2) і В (а; –1) містяться на прямій, паралельній осі Оу. Знайти значення а. 6. Точка М є серединою відрізка ОА, що сполучає початок координат О із точкою А (–5; 2). Знайти координати точки М. 7. Дано точки 8. а) Яка точка — б) Яка з цих точок далі від осі Оу? в) Чому дорівнює відстань від точки 9. Побудувати точки А (4; 1), В (3; 5), С (–1; 4) і D (0; 0). Якщо точки побудовано правильно, то, сполучивши їх, дістанемо квадрат. Яка його площа? Чому дорівнює довжина сторони цього квадрата? Знайти координати середин сторін квадрата. 10. Знайти координати центра мас однорідної пластинки, що має форму трикутника з вершинами А (2; 4), В (0; 1); С (4; –2) (рис. 1).
Рис. 1 11. Точки А (–2; 1), В (2; 3) і С (4; –1) — середини сторін трикутника. Знайти координати його вершин. 12. На площині дано точки А (0; 0),
Рис. 2 13. Площа трикутника дорівнює 10 кв. од., дві його вершини — точки А (5; 1) і В(–2; 2). Знайти координати третьої вершини, коли відомо, що вона лежить на осі абсцис. 14. Знайти площу чотирикутника з вершинами в точках А (3; 1), В (4; 6), С (6; 3) і D (5; –2). 15. Дано полярні координати точки: 16. Знайти відстань між точками, знаючи їхні полярні координати: 17. Знайти множини точок, координати яких пов’язані такими співвідношеннями: 1) 18. Скласти рівняння, що описують такі множини точок: 19. Яким має бути співвідношення між х і у, щоб на координатній площині було задано: а) пару прямих у = 3 х і у = х – 3, 20. На площині дано три точки: А (3; –6), В (–200; 400), С (1000; –2000). Довести, що вони лежать на одній прямій. 21. Які три з точок А (1; 3); B (–2; l); C (–l; 7), D (3; l) лежать на одній прямій? 22. Застосувати формулу відстані між двома точками на координатній площині для доведення такої теореми: у паралелограмі сума квадратів довжин діагоналей дорівнює сумі квадратів довжин його сторін. 23. Встановити: а) чи лежить точка N (4,1; 1,9) на колі з центром C (1; –2) і радіусом 5 (скористайтеся рис. 3); б) чи лежить точка K (0; в) чи лежить точка F (160; –1) на колі з центром (147; –6) і радіусом 13.
Рис. 3 24. Скласти рівняння кола з центром C (–2; 3) і радіусом, що дорівнює 5. Відомо, що точка A (а; –1) лежить на цьому колі. Знайти а. 25. Скласти рівняння кожної з чотирьох прямих, зображених на рис. 4. Рис. 76 26. Скласти рівняння прямої, яка паралельна бісектрисі першого координатного кута і проходить через точку (0; –5). 27. Скласти рівняння прямої, яка паралельна прямій а) через точку (0; 2); б) через точку (1; –1). 28. Дано пряму 29. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку 30. Знайти рівняння бісектрис кутів, утворених прямими
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 6023; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |