Розімкнута одноканальна система масового обслугову­вання з необмеженим часом очікування

Ланцюги Маркова і рівняння Колмогорова для систем масового обслуговування

Для одержання і графічної інтерпретації математичних моделей систем масового обслуговування їх зручно представляти у вигляді ла­нцюгів Маркова. Ланцюг Маркова являє собою розмічений граф станів, тобто орієнтований граф у вигляді ланцюжка прямокутних блоків (вершин), з'єднаних функціональними зв'язками (спрямованим дугами),.

Вершина графа інтерпретується як одне з можливих станів сис­теми. Стан системи масового обслуговування будемо зв'язувати з ймо­вірністю числа вимог, що знаходяться в системі:

у системі немає жодної вимоги - імовірність стану Ро;

у системі знаходиться одна вимога - імовірність стану Р1;

…

у системі знаходиться т вимог - імовірність стану Р_т;

Дуги графа інтерпретуються як процеси переходу з одного стану в інший. Процеси переходу будемо зв'язувати з інтенсивністю їх появи в системі. При цьому вважаємо, що потік вхідних вимог є простим (пуассонівським), а час обслуговування підпорядковується експоненціальному закону. Кожний канал може обслуговувати тільки одну ви­могу.

Розглянемо Марківські ланцюги для найбільш поширених сис­тем масового обслуговування.

Ланцюг Маркова для даної системи показано на рис. 1.

Рi

Р₃

Р₂

Р₁

Р₀

λ λ λ … λ

μ μ μ μ... μ

Рис.1

Кожний прямокутний блок визначає один з можливих станів системи і кількісно оцінюється ймовірністю стану. Стрілки (дуги) по­казують, в який стан система може перейти і з якою інтенсивністю.

Оскільки час очікування в системі необмежений, то система може накопичувати нескінченну множину вимог, що очікують обслу­говування. Тому ланцюг Маркова нескінчений. Кількість вимог у сис­темі і може змінюватися від 0 до ∞. Оскільки потік вимог ординарний, то вимоги поступають по одній.

Перший прямокутник з імовірністю Р₀ визначає стан системи масового обслуговування, при якому її єдиний канал простоює через відсутність вимог на обслуговування. З цього положення система мо­же перейти з інтенсивністю λ тільки в стан Р1, тоді система буде за­йнята обслуговуванням вимоги. Зі стану Р1 система може з інтенсив­ністю μ перейти в стан Ро (у системі знаходилася одна вимога, але вона була обслуговувана раніше, ніж з'явилося нова вимога) і стати вільною або з інтенсивністю λ - у стан Р₂. У цьому випадку в системі будуть знаходитися 2 вимоги, одна з яких - у стані очікування (черга з одною вимогою). Зі стану Р₂ система може з інтенсивністю μ перейти в стан Р₁ і бути зайнята обслуговуванням однієї вимоги з лік­відацією черги або з інтенсивністю λ перейти в стан Р₃,. У цьому випадку в системі будуть знаходитися 3 вимоги, дві з яких — у стані очі­кування обслуговування, і т.д.

Дата добавления: 2014-01-04