Формулы дифференцирования

Правила дифференцирования

Бесконечные и односторонние производные

Понятие производной функции

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ

по теме «Производная функции в точке.

Основные правила и формулы дифференцирования»

№	Название	Определение	Обозначение
	Производная функции в точке
	Дифференцирование	операция нахождения производной	-
	Функция, дифференцируемаяв точке	функция, имеющая производную в точке	-
	Функция, дифференцируемая на отрезке	она дифференцируема в каждой точке этого отрезка	-
	Функция, дифференцируемая на интервале	она дифференцируема в каждой точке этого интервала	-

№	Название	Определение
	Правая производная функции в точке	предел вида   если функция определена при
	Правая производная функции в точке	предел вида   если функция определена при
	Бесконечная производная функции в точке	бесконечный предел (или) в формуле определения производной:

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Т	Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке

Пусть,,.

№	Правила дифференцирования
	(Правило дифференцирования сложной функции) Если функции и дифференцируемы в соответствующих точках своих аргументов, то производная сложной функции вычисляется по формуле. Если функции дифференцируемы в соответствующих точках своих аргументов, то производная сложной функции равна
	(Правило дифференцирования обратной функции) Если дифференцируемая в точке, строго возрастающая функция имеет обратную функцию, причем, то обратная функция дифференцируема в точке и верно равенство или

№	Формула	№	Формула
	, где
	где

Приложения производной функции

Название	№	Содержание
Геометрический смысл производной		производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке:, где – угол между касательной и положительным направлением оси
Механический смысл производной		производная пути по времени равна мгновенной скорости движения точки в данный момент времени: , где – функция зависимости расстояния, пройденного точкой, от времени
Физические приложения производной		Если материальная точка M движется неравномерно по пути, заданному функцией то мгновенная скорость движения в момент времени есть производная от пути S по времени t:
	Если функцией описывается процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени, то мгновенное ускорение материальной точки в момент времени есть производная от скорости v по времени t:
	Если – функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры T, то теплоемкость тела есть производная от количества теплоты Q по температуре T:
	Линейная плотность неоднородного тонкого стержня в точке есть производная от массы m по длине l:
	Мгновенное значение электродвижущей силы индукции равно скорости изменения магнитного потока, т. е. производной от магнитного потока f по времени t:
	Сила тока в колебательном контуре в момент времени равна производной заряда q по времени t:

Дата добавления: 2014-01-04