Дотична площина та нормаль

6. Похідна за напрямом. Градієнт

7. Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків

8. Похідна неявної функції

9. Економічний зміст частинних похідних

1. Частинні та повний прирости функції двох змінних

Нехай функція визначена в деякому околі точки. Надамо незалежним змінним x та y приросту відповідно та так, щоб точка не виходила за межі вказаного околу. Тоді й точки, також належатимуть розглядуваному околу (рис. 5.18).

Означення. Різницю називають повним приростом функції при переході від точки до точки і позначають. Різницю називають частинним приростом за х, а різницю — частинним приростом за y функції; їх позначають відповідно і. Таким чином,

,

,.

2. Диференційовність функції двох змінних

Означення. Функція називається диференційовною у точці, якщо її повний приріст можна подати у вигляді:,

де А, В — числа, a, b — нескінченно малі при.

Головна лінійна частина приросту функції, тобто називається повним диференціалом функції (точніше першим дифе­ренціалом) двох змінних у точці і позначається.

Теорема 1. Якщо функція диференційовна в точці, тоді існують границі та і вони дорівнюють відповідно А і В.

Означення. Нехай функція визначена в точ-
ці і в її деякому околі. Якщо існує границя, то вона називається частинною похідною за х (за у) функції у точці і позначається, або, або. Таким чином,,. Із означення частинних похідних матимемо, що вони шукаються за тими правилами, що й похідні функції однієї змінної. Треба лише пам’ятати, що при знаходженні у вважається сталою, а при знаходженні змінна х вважається сталою.

Теорема 2 (необхідна умова диференційовності функції у точці).

Якщо функція диференційовна в точці, то в цій точці існують частинні похідні і.

Диференціали незалежних змінних збігаються з їхніми приростами:,. Тоді, як випливає із означення повного диференціала і теореми 13, повний диференціал функції можна обчислити за формулою

.

Аналогічно повний диференціал функції трьох аргументів обчислюється за формулою

.

Геометричний зміст частинних похідних. Якщо функцію, що має частинні похідні в точці, розглядати за умови, то геометрично це означає, що поверхня перетинається площиною, паралельно координатній площині; у перерізі дістаємо лінію. Тоді є кутовим коефіцієнтом дотичної до зазначеного перерізу в точці, тобто тангенсом кута нахилу цієї дотичної до додатного напряму осі Ох. Аналогічно, є кутовим коефіцієнтом дотичної, що проходить через точку, до кривої, яка утворюється в результаті перетину поверхні з площиною.

3. Достатня умова диференційовності функції двох змінних у точці

Для функції однієї змінної твердження щодо її диференці-
йовності та існування похідної є рівносильними. У випадку
функції двох змінних ми маємо інше: існування частинних похідних — необхідна умова диференційовності функції в точці, але не є достатньою умовою диференційовності: наприклад, для функції

у точці (0; 0):,. Але ця функція розривна в точці (0; 0), а тому функція не може бути диференційовною в цій точці. Таким чином, для диференційовності функції у точці недостатньо тільки існування частинних похідних: потрібно додатково вимагати неперервності частинних похідних, що випливає з поданої далі теореми.

Теорема 3. Якщо функція у деякому околі точки має неперервні частинні похідні, тоді вона диференційовна в точці.

Теорема 4. Якщо функція диференційовна в точці, то вона неперервна в цій точці. Обернене твердження неправильне.

4. Диференціювання складної функції

Теорема 5. Нехай на множині D визначена складна функція, де, і нехай функції, мають у деякому околі точки неперервні частинні похідні, а функція — неперервні частинні похідні в деякому околі точки, де,. Тоді складна функція диференційовна в точці, причому

,.

Дата добавления: 2014-01-04