Лекция. Погрешности измерений

Содержание лекции:

- классификация погрешностей измерений; случайные и систематические погрешности; законы распределения случайной величины.

Цель лекции:

- изучить основные определения различных видов погрешностей измерений, основные характеристики законов распределения случайной величины, оценки основных характеристик ряда наблюдений.

В зависимости от причин возникновения, характера изменений и условий проявления различают погрешности измерений, классификация которых представлена в приложении В на рисунке В1.

В зависимости от характера их проявления различают погрешности случайные и систематические.

Случайные погрешности – погрешности, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Значение и знак случайной погрешности определить невозможно. Для учета случайной погрешности проводят многократные (статистические) измерения. Оценивая случайную погрешность, говорят об ожидаемой погрешности. Грубая погрешность – это случайная погрешность, существенно превышающая ожидаемую погрешность при данных условиях. Промах – погрешность, которая явно искажает результат измерения. За промах принимают случайную субъективную погрешность экспериментатора. Грубые погрешности и промахи обычно исключаются из экспериментальных данных до начала статистической обработки результатов наблюдений.

Систематическая погрешность – погрешность измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины.

Если систематическая погрешность известна, т.е. имеет определенное значение и знак, то она может быть исключена путем внесения поправки по окончании измерения. Если известна причина (источник) систематической погрешности, то ее необходимо устранить до начала измерения.

По причине возникновения систематические погрешности подразделяются на: погрешность метода измерений, инструментальную погрешность, погрешность установки, субъективную погрешность и методическую погрешность.

Погрешность метода измерений (теоретическая погрешность) – это погрешность несовершенства метода измерений. В основном это несовершенство принципа измерения, недостаточная изученность явления, положенного в основу измерения. Инструментальная погрешность (погрешность инструмента) – это погрешность, зависящая от погрешностей применяемых средств измерений (несовершенство конструкции, технологии изготовления средства измерения, постепенный их износ и старение материалов). Погрешность установки – погрешность, обусловленная неправильной установкой средства измерения. Методическая погрешность – погрешность, обусловленная методикой измерения величины и не зависит от точности применяемых средств измерений. Субъективная погрешность – погрешность, обусловленная индивидуальными особенностями наблюдателя.

По характеру проявления систематические погрешности подразделяются на постоянные и переменные.

Постоянные систематические погрешности не изменяют своего значения при повторных измерениях. Пример - Неправильная градуировка средства измерения, неправильная установка начала отсчета и т.п.

Переменные систематические погрешности при повторных измерениях принимают различные значения в соответствии с известными закономерностями. Если погрешность возрастает или убывает при повторных измерениях, то это прогрессивная систематическая погрешность. Периодическая систематическая погрешность может меняться по периодическому или сложному закону. Причины появления периодической систематической погрешности – действие внешних факторов и особенности конструкций средств измерения.

Результат измерения всегда содержит систематическую () и случайную () погрешности

. (3.1)

Поэтому в общем случае погрешность результата измерения () нужно рассматривать как случайную величину, тогда систематическая погрешность есть МО этой величины, а случайная погрешность – центрированная случайная величина.

3.1 Законы распределения случайной величины

Полным описанием случайной величины является ее закон распределения, а следовательно, и случайная погрешность y, и погрешности D.

Существуют различные законы распределения. В практике измерений наиболее распространенным законом распределения погрешности является нормальный закон (Гаусса).

Формула плотности вероятности нормального закона распределения

= _{, (3.2)}

где s - среднее квадратичное отклонение;

d - случайная погрешность.

График нормального закона распределения случайной величины приведен на рисунке 3.1.

    W (d)

s = 0.01

s = 0.02

0 d

Рисунок 3.1 – График нормального закона распределения

  Чем меньше s, тем точнее выполнены измерения (чаще встречаются малые случайные погрешности).

Сравнительно часто встречается равномерный закон распределения случайной величины, график которого представлен на рисунке 3.2.

W(d)

d

0

Рисунок 3.2 – График равномерного закона распределения

Формула плотности вероятности равномерного закона распределения

(3.3)

В пределах некоторых границ значения измеряемой величины могут быть различными, но равновероятными.

Другие законы распределения приведены в ГОСТ 8.011 – 72 «Показатели точности измерений и формы представления результатов измерений».

3.1.1 Основные характеристики законов распределения

Математическое ожидание ряда наблюдений (МО) – величина, относительно которой рассеиваются результаты отдельных наблюдений.

Если систематические погрешности отсутствуют и разброс результатов отдельных измерений обусловлен только случайными погрешностями, то математическое ожидание такого ряда наблюдений будет истинное значение измеряемой величины.

Если , то математическое ожидание такого ряда наблюдений будет смещено от истинного значения измеряемой величины на значение систематической погрешности.

Дисперсия ряда наблюдений (Д) характеризует степень рассеивания (разброса) результатов отдельных наблюдений вокруг математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных результатов, тем точнее выполнены измерения. Таким образом, дисперсия может служить характеристикой точности проведенных измерений.

Среднее квадратическое отклонение ряда наблюдений . Поскольку единицей измерения дисперсии является квадрат измеряемой величины, то для оценки точности используется величина, равная корню квадратному из дисперсии и называемая среднее квадратическое отклонение.

3.1.2 Оценки основных характеристик ряда наблюдений

Из теории вероятности известно, что оценкой математического ожидания является среднее арифметическое результатов отдельных наблюдений -

, (3.4)

где - i-й результат наблюдения;

- число результатов наблюдений.

Оценка дисперсии ряда наблюдений рассчитывается по формуле

. (3.5)

Среднее квадратическое отклонение ряда наблюдений является основной характеристикой размера случайных погрешностей результатов наблюдений. Формула для расчета о ценки среднего квадратического отклонения s

= + , (3.6)

при n à (практически при n > 30), S² à Д, S à s.

Дополнительную информацию по теме можно получить в [1-7,11-14].

Дата добавления: 2014-01-04