Лекція №11. Застосування диференціального числення для дослідження функцій

1. Монотонність функції

2. Локальний екстремум функції. Найбільше і найменшу значення функції

3. Опуклість і вгнутість функції. Точки перегину

4. Асимптоти кривої

5. Схема дослідження функції та побудова її графіка

1. Монотонність функції

Теорема 1 (достатні умови строгої монотонності)

Якщо функція диференційовна на інтервалі і всюди, крім, можливо, скінченного числа точок, в яких на , то функція зростає (спадає).

Теорема 2 (необхідна умова зростання)

Якщо диференційовна на інтервалі функція зростає, то на .

Інтервали монотонності можуть відділятись один від одного або точками, де похідна дорівнює нулю (їх називають стаціонарними точками), або точками, де похідна не існує.

Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує називаються критичними точками першого роду.

Правило знаходження проміжків монотонності функції :

1. Знайти область визначення функції;

2. Знайти похідну функції;

3. Знайти критичні токи з рівняння та з умови, що не існує:

4. розділити критичними точками область визначення на інтервали та у кожному з них визначити знак похідної. На інтервалах, де похідна додатна, функція зростає, а де від’ємна – спадає.

2. Локальний екстремум функції. Найбільше і найменшу значення функції

Точка називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції , якщо існує такий окіл точки , який належить області визначення функції, і для всіх з цього околу виконується нерівність .

Точки локального максимуму і локального мінімуму називаються точками локального екстремуму, а значення функції в цих точках називаються відповідно локальним максимумом і локальним мінімумом або локальним екстремумом.

Абсолютний максимум (мінімум) – це найбільше (найменше) значення функції, яке вона може набувати в області визначення.

Локальних максимумів (мінімумів) функція може мати кілька, абсолютний максимум (мінімум) може бути тільки один.

Теорема 1 (необхідна умова локального екстремуму)

Якщо функція має в точці локальний екстремум і диференційовна в цій точці, то .

Теорема 2 (перша достатня умова локального екстремуму)

Нехай - критична точка функції , яка в цій точці неперервна, і нехай існує окіл точки , в якому функція має похідну крім, можливо, точки , тоді:

1. Якщо в інтервалі похідна , а в інтервалі похідна , то є точкою локального максимуму функції ;

2. Якщо в інтервалі похідна , а в інтервалі похідна , то є точкою локального мінімуму функції ;

3. Якщо в обох інтервалах і похідна має той самий знак, то не є екстремальною точкою функції .

Теорема 3 (друга достатня умова локального екстремуму)

Нехай - стаціонарна точка функції , тобто , і в околі точки існує друга неперервна похідна, причому . Якщо , то - точка локального мінімуму; якщо , то - точка локального максимуму.

Теорема 4 (третя достатня умова локального екстремуму)

Нехай в околі стаціонарної точки існує неперервна похідна , причому , . Тоді:

1. якщо n – парне і , то має в точці локальний максимум;

2. якщо n – парне і , то має в точці локальний мінімум;

3. якщо n – непарне, то в точці локального екстремуму не має.

Нехай функція неперервна на відрізку . Така функція досягає своїх найбільшого і найменшого значень, які називаються абсолютними екстремумами функції на цьому відрізку і позначаються відповідно .

Правило знаходження найбільшого (найменшого) значення функції, неперервної на відрізку :

1. Знайти критичні точки функції , які належать інтервалу ;

2. Обчислити значення функції у знайдених критичних точках і точках та і серед цих значень вибрати найбільше (найменше).

3. Опуклість і вгнутість функції. Точки перегину

Крива називається опуклою на інтервалі, якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать нижче довільної її дотичної на цьому інтервалі.

Крива називається вгнутою на інтервалі, якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать вище довільної її дотичної на цьому інтервалі.

Точкою перегину називається така очка кривої, яка відділяє її опуклу частину від вгнутої.

Теорема 1 (знаходження інтервалів опуклості і вгнутості)

Нехай функція є двічі диференційовною на , тоді:

1. якщо , то крива опукла на ;

2. якщо , то крива вгнута на .

Наслідок. В точці перегину друга похідна дорівнює нулю (якщо вона існує).

Точки, в яких друга похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками другого роду.

Теорема 2 (достатні умови існування точки розриву)

Нехай - критична точка другого роду функції . Якщо при переході через точку похідна змінює знак, то точка є точкою перегину кривої .

Наслідок. Щоб знайти точки перегину кривої треба знайти критичні точки другого роду і дослідити зміну знака другої похідної при переході через ці точки.

4. Асимптоти кривої

Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань від змінної точки кривої до цієї прямої прямує до нуля, коли точка , рухаючись по кривій, віддаляється на нескінченність.

вертикальна горизонтальна похила

асимптота асимптота асимптота

Для існування вертикальної асимптоти необхідно і достатньо, щоб , або , або .

Рівняння похилої асимптоти , де (1), (2).

Зауваження 1. Якщо хоча б одна з границь (1) або (2) не існує, або дорівнює нескінченності, то крива похилої асимптоти не має.

Зауваження 2. Якщо , то , тому – рівняння горизонтальної асимптоти.

Зауваження 3. Асимптоти кривої при і можуть бути різні. Тому при знаходженні асимптот границі (1) і (2) потрібно обчислювати при і .

5. Схема дослідження функції та побудова її графіка

1. Знайти область існування функції;

2. Знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з координатними осями;

3. дослідити функцію на періодичність, парність і непарність;

4. знайти точки розриву і дослідити їх;

5. знайти інтервали монотонності, точки локальних екстремумів та значення функції в цих точках;

6. знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перегину;

7. знайти асимптоти кривої;

8. побудувати графік функції.

Дата добавления: 2014-01-04