Свободные незатухающие колебания в колебательном контуре

Энергия гармонических колебаний

Пружинный и математический маятник

Кинематические и динамические характеристики

Векторная диаграмма

Графически гармонические колебания можно изобразить с помощью метода векторных диаграмм. Пусть вокруг точки О равномерно вращается некоторый вектор.

О x

j

    , гдеj– фаза колебаний;

ω₀ – циклическая (угловая) частота (скалярная величина, характеризующая быстроту изменения фазы колебаний в единицу времени).

  j

y

x

w

O

Спроецируем на ось x и y.

x=A×cos(w₀t+j₀) y=A×sin(w₀t+j₀)  

x,y – смещение (может быть как >0, так и <0). Если смещение максимальное, то появляется амплитуда колебаний (А всегда>0).

x_max = A, где A –амплитуда колебаний.

Т – период колебаний[с](наименьший промежуток времени, в течение которого изменяющаяся физическая величина, повторяющаяся по модулю и направлению). Если через промежуток времени ∆t совершается N колебаний, то

– линейная частота [Гц, 1/с]

Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний

Рассмотрим гармоническое колебание.

Найдем скоростьколебания:

Aw₀=V_max

Ускорение:

Гармонические колебания происходят под действием упругой или квази упругой силы.

– однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Дифференциальное уравнение свободных незатухающихгармонических колебаний. Решением этого уравнения является уравнение .  

Математический маятник – это тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити, размерами и формами которого можно пренебречь.

F_равн – стремится вернуть маятник в исходное состояние. , где i – длина нити; – ускорение свободного падения.    

_равн

В момент времени

В момент времени

;

В момент времени

;  

В момент времени

_упр

4 раза за период происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую и наоборот.

Груз на пружине (принцип маятника)

k – коэффициент упругости;

m – масса груза.

В уравнения и примем, что начальная фаза, то тогда и.

В момент времени

В момент времени

В момент времени

0 Tt

W_полн   W_п   W_к  

W

Найдем потенциальную энергию.

Незатухающие колебания возникают в колебательном контуре, в котором имеется катушка индуктивности L и конденсатор C, активное сопротивление R=0.

L

C

В таком контуре происходит перекачка энергии конденсатора (электрическая энергия) в энергию токов катушки (магнитная, аналог кинетической) и обратно.

В момент времени

Конденсатор полностью заряжен.   .  

L

+q    

-q    

В момент времени

Конденсатор разряжается и в контуре потечет ток, поэтому возникает магнитное поле в катушке индуктивности и к моменту времени – max    

L

Ток начинает уменьшаться и по правилу Ленца в катушке будет индуцироваться ток того же направления, что и ток разряда конденсатора. Конденсатор начинает перезаряжаться. – max    

В момент времени

L

-q    

+q    

В момент времени

L

В этот момент времени все процессы возникают в обратном направлении, и когда все придет в первоначальное состояние.  

Выведем дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний в контуре.

Возьмем производную по времени:

– это дифференциальное уравнение второго порядка свободных гармонических колебаний в контуре.

Сравним с.

Решением нашего является

  это собственная частота колебаний контура.    

– Формула Томсона

Таким образом,q, I колеблются гармонически с одинаковыми периодами, но со сдвигом по фазе.

Дата добавления: 2014-01-04