Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Интеграл от функции с бесконечными разрывами

Интеграл от функции с конечными разрывами

Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл 1 рода)

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Определенный интеграл

,

где [ a; b ]–ограниченный промежуток, f (x) С[ a; b ], называется собственным интегралом.

Пусть f (x) С[ a; +∞). Предел

(1)

называется несобственным интегралом 1 рода:

.

Если предел (1) конечный, то несобственный интеграл

(2)

сходится. Если предел (1) бесконечен или не существует, то интеграл (2) расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на [–∞; b):

.

Несобственный интеграл на R:

,

где с – произвольное число.

Интеграл слева сходится тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Если f (x) ≥0 на [ a; +∞) и интеграл

 

сходится, то он представляет площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

 

Пример 1. Вычислить или установить расходимость

1) – интеграл сходится;

2) – интеграл расходится, так как – не существует;

3) – интеграл расходится.

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл: достаточно знать его сходимость или расходимость.

Теорема 1. (Признак сравнения).Пусть f (x), φ(x) С[ a; ∞), 0 ≤ f (x) ≤ φ(x) [ a; ∞).

Тогда 1) из сходимости интеграла следует сходимость;

2) из расходимости интеграла следует расходимость.

Док. Пусть сходится и равен М; тогда b R+.

В соответствии со свойством 7 об интегрировании неравенств

.

Следовательно

– ограниченная функция и интеграл сходится.

Если дано, что расходится, то

.

Так как

,

то и

.

Следовательно, – расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость интеграла

.

Решение

[1; +∞).

- сходится (причем, его значение <1).

Признак сравнения относится только к функциям, сохраняющим знак на бесконечном промежутке интегрирования.

Более сложным является исследование интегралов от функций, несохраняющих знак, например.

Признак сходимости, позволяющий сводить исследование к случаю положительных функций.

Если сходится, то сходится и. При этом интеграл называется абсолютно сходящимся.

_______________________________

Теорема 2. Если существует предел

, k R+, f (x) >0, φ(x) >0,

то интегралы и одновременно сходятся или одновременно расходятся (т.е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

_______________________________

Пример 3. Исследовать сходимость интеграла

.

Решение

 

.

- сходится - сходится.

Пусть с 1, с 2,…, сk (k < ∞) – точки разрыва первого рода функции f (x) на [ a; b ], причем а < с 1< с 2<…< сk < b.

Тогда

.

(несобственный интеграл 2 рода)

Пусть f (x) С[ a; b) и имеет бесконечный разрыв при x = b. Предел

(3)

называется несобственным интегралом 2 рода:

.

 

Если предел (3) конечный, то несобственный интеграл

(4)

сходится. Если предел (3) бесконечный или не существует, то интеграл (4) расходится.

Если f (x) С(a; b ] и имеет бесконечный разрыв при x = a, то несобственный интеграл определяется выражением

.

Если f (x) имеет разрыв во внутренней точке с [ a; b ], то несобственный интеграл определяется как

(5)

.

 

Интеграл слева в выражении (5) называется сходящимся, если оба предела справа конечные.

Если f (x)>0, то сходящийся несобственный интеграл 2 рода можно истолковать как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (бесконечно высоких криволинейных трапеций).

Пример 4. Вычислить.

Решение

 

.

Интеграл расходится.

Признаки сходимости несобственного интеграла 2 рода

Теорема 3. Пусть f (x), φ(x) С[ a; b), 0 ≤ f (x) ≤φ(x) [ a; b), при x = b функции f (x) и φ(x) имеют бесконечный разрыв. Тогда:

1) из сходимости интеграла следует сходимость;

2) из расходимости интеграла следует расходимость.

Аналогично. Пусть f (x), φ(x) С(a; b ], 0 ≤ f (x) ≤φ(x) (a; b ], при x = a функции f (x) и φ(x) имеют бесконечный разрыв. Тогда из сходимости интеграла следует сходимость, а из расходимости интеграла следует расходимость.

_______________________________

Теорема 4. Пусть f (x), φ(x) С[ a; b), при x = b функции f (x) и φ(x) имеют разрыв. Если существует предел

, k R+,

то интегралы и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Аналогично. Пусть f (x), φ(x) С(a; b ], при x = a функции f (x) и φ(x) имеют разрыв. Если существует предел

, k R+,

то интегралы и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

_______________________________

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл

.

Решение

Функция имеет на [0;1] разрыв в точке x= 0.

Рассмотрим.

–– интеграл расходится.

Поскольку

,

то – расходится.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Историческая эпоха и исторический процесс | Тема 15: Методи музичного виховання
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1229; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.016 сек.