Интеграл от функции с бесконечными разрывами

Интеграл от функции с конечными разрывами

Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл 1 рода)

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Определенный интеграл

,

где [ a; b ]–ограниченный промежуток, f (x) С[ a; b ], называется собственным интегралом.

Пусть f (x) С[ a; +∞). Предел

(1)

называется несобственным интегралом 1 рода:

.

Если предел (1) конечный, то несобственный интеграл

(2)

сходится. Если предел (1) бесконечен или не существует, то интеграл (2) расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на [–∞; b):

.

Несобственный интеграл на R:

,

где с – произвольное число.

Интеграл слева сходится тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Если f (x) ≥0 на [ a; +∞) и интеграл

сходится, то он представляет площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Пример 1. Вычислить или установить расходимость

_▼

1) – интеграл сходится;

2) – интеграл расходится, так как – не существует;

3) – интеграл расходится.

^▲

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл: достаточно знать его сходимость или расходимость.

Теорема 1. (Признак сравнения).Пусть f (x), φ(x) С[ a; ∞), 0 ≤ f (x) ≤ φ(x) [ a; ∞).

Тогда 1) из сходимости интеграла следует сходимость;

2) из расходимости интеграла следует расходимость.

Док. _▼ Пусть сходится и равен М; тогда b R⁺.

В соответствии со свойством 7 об интегрировании неравенств

.

Следовательно

– ограниченная функция и интеграл сходится.

Если дано, что расходится, то

.

Так как

,

то и

.

Следовательно, – расходится.

^▲

Пример 2. Исследовать сходимость интеграла

.

Решение _▼

[1; +∞).

- сходится (причем, его значение <1).

^▲

Признак сравнения относится только к функциям, сохраняющим знак на бесконечном промежутке интегрирования.

Более сложным является исследование интегралов от функций, несохраняющих знак, например.

Признак сходимости, позволяющий сводить исследование к случаю положительных функций.

Если сходится, то сходится и. При этом интеграл называется абсолютно сходящимся.

^{_______________________________}

Теорема 2. Если существует предел

, k R⁺, f (x) >0, φ(x) >0,

то интегралы и одновременно сходятся или одновременно расходятся (т.е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

^{_______________________________}

Пример 3. Исследовать сходимость интеграла

.

Решение _▼

.

- сходится - сходится.

^▲

Пусть с ₁, с ₂,…, с_k (k < ∞) – точки разрыва первого рода функции f (x) на [ a; b ], причем а < с ₁< с ₂<…< с_k < b.

Тогда

.

(несобственный интеграл 2 рода)

Пусть f (x) С[ a; b) и имеет бесконечный разрыв при x = b. Предел

(3)

называется несобственным интегралом 2 рода:

.

Если предел (3) конечный, то несобственный интеграл

(4)

сходится. Если предел (3) бесконечный или не существует, то интеграл (4) расходится.

Если f (x) С(a; b ] и имеет бесконечный разрыв при x = a, то несобственный интеграл определяется выражением

.

Если f (x) имеет разрыв во внутренней точке с [ a; b ], то несобственный интеграл определяется как

(5)

.

Интеграл слева в выражении (5) называется сходящимся, если оба предела справа конечные.

Если f (x)>0, то сходящийся несобственный интеграл 2 рода можно истолковать как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (бесконечно высоких криволинейных трапеций).

Пример 4. Вычислить.

Решение _▼

.

Интеграл расходится.

^▲

Признаки сходимости несобственного интеграла 2 рода

Теорема 3. Пусть f (x), φ(x) С[ a; b), 0 ≤ f (x) ≤φ(x) [ a; b), при x = b функции f (x) и φ(x) имеют бесконечный разрыв. Тогда:

1) из сходимости интеграла следует сходимость;

2) из расходимости интеграла следует расходимость.

Аналогично. Пусть f (x), φ(x) С(a; b ], 0 ≤ f (x) ≤φ(x) (a; b ], при x = a функции f (x) и φ(x) имеют бесконечный разрыв. Тогда из сходимости интеграла следует сходимость, а из расходимости интеграла следует расходимость.

^{_______________________________}

Теорема 4. Пусть f (x), φ(x) С[ a; b), при x = b функции f (x) и φ(x) имеют разрыв. Если существует предел

, k R⁺,

то интегралы и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Аналогично. Пусть f (x), φ(x) С(a; b ], при x = a функции f (x) и φ(x) имеют разрыв. Если существует предел

, k R⁺,

то интегралы и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

^{_______________________________}

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл

.

Решение _▼

Функция имеет на [0;1] разрыв в точке x= 0.

Рассмотрим.

–– интеграл расходится.

Поскольку

,

то – расходится.

^▲

Дата добавления: 2014-01-04