Биномиальный случай

Модель, в которой цена акции на каждых торгах может принимать лишь два значения, т.е. , была впервые рассмотрена в статье [16]. Мы будем дальше обозначать . Для этого случая задача ЛП принимает вид

(42)

(43)

Это условия самофинансирования для момента времени , и т.д. Для произвольного дискретного момента времени их можно записать в виде

(44)

в то время как хедж-условия имеют вид

(45)

Здесь -- значение функции выплаты при соответствующих ценовых ситуациях.

Число переменных в этой модели есть, очевидно,

Так как для каждого возможного мультииндекса мы имеем 2 ограничения (в виде равенства или неравенства), то легко видеть, что число ограничений также есть . Поэтому ясно, что соответствующий задаче линейного программирования выпуклый многогранник (см. приложение) имеет единственную крайнюю точку. Простой анализ показывает, что данная ЛП-задача не имеет неограниченного минимума. Таким образом, для решения задачи (44-47) следует решить систему (46-47), взяв все ограничения в виде равенств, и подставить соответствующие значения и в функцию (44).

Это может быть сделано, например, в виде следующей последовательности рассуждений. Если ввести обозначения для торговой стратегии, для текущих котировок и для стоимости портфеля, то условия самофинансирования могут быть записаны в виде

(46)

Лемма 17 Значения котировок в различные моменты времени связаны соотношениями

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Разлагая вектор-строку по векторам и

получаем для и систему

решение которой и доказывает лемму.

Лемма 18 Условия самофинансирования дают для биномиальной модели

Д о к а з а т е л ь с т в о. Опираясь на определение , лемму 20 и условия самофинансирования в форме (48), получаем цепочку равенств

Лемма 19 Начальный капитал может быть представлен в виде

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Из леммы 22 непосредственно следует окончательная

Теорема 20 Справедливая цена опциона для биномиальной модели CRR дается выражением

(47)

Для случая опциона купли (call-опцион) , где . Пусть - наименьшее целое, для которого . Тогда формула (49) принимает вид

где .

Дата добавления: 2014-01-04