Примеры решения задач. Пример 1. Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 20 мкТл перпендикулярно линиям индукции магнитного поля

Пример 1. Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 20 мкТл перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Сколько оборотов в секунду будет делать протон в магнитном поле?

Решение

На заряженную частицу в магнитном поле действует сила

, (а)

где – заряд частицы, – индукция магнитного поля, – скорость частицы, – угол между векторами и .

В данной задаче , значит протон будет двигаться в магнитном поле по окружности радиуса с центростремительным (нормальным) ускорением

(б)

По второму закону Ньютона

, (в)

где – масса частицы.

Приравнивая правые части выражений (б) и (в), с учетом формулы (а), получаем

, (г)

так как , то после небольшого преобразования получаем

. (д)

С другой стороны,

, (е)

где – угловая скорость.

Получаем

. (ж)

Приравняем правые части уравнений (д) и (л), получим

,

откуда выразим – частоту вращения, т. е. число оборотов в секунду,

. (и)

Размерность: .

Подставляем числовые значения в формулу (и):

.

Вычисления дают .

Пример 2. Электрон, имеющий скорость 8·10⁶ м/с, влетает в однородное магнитное поле с индукцией 31,4 мТл под углом 30° к его направлению. Определите радиус и шаг винтовой линии, по которой будет двигаться электрон (рис. 24).

Решение

Скорость разложим на две составляющие: тангенциальную , параллельную линиям индукции магнитного поля и нормальную , перпендикулярную им,

; (а)

. (б)

На электрон действует магнитная сила (благодаря нормальной составляющей скорости)

. (в)

Под действием этой силы электрон будет двигаться по окружности радиуса , который можно найти из условия:

, (г)

так как сила Лоренца является центростремительной силой.

Из формулы (г) получаем

, (д)

где – модуль заряда электрона; – масса электрона; – индукция магнитного поля.

Вдоль силовых линий поля магнитная сила не действует, поэтому частица движется прямолинейно с постоянной скоростью .

В результате суперпозиции двух движений электрон будет двигаться по винтовой линии радиусом и шагом винта :

, (е)

где – период движения по окружности,

. (ж)

С учетом формул (б), (д) и (ж), уравнение (е) принимает вид:

. (и)

Размерность: .

Подставляем числовые данные в выражение (и):

.

Вычисления дают:

.

Пример 3. Перпендикулярно магнитному полю с индукцией 0,1 Тл возбуждено электрическое поле напряженностью 1·10^5 В/м. Перпендикулярно обоим полям, не отклоняясь от прямолинейной траектории, движется заряженная частица. Найти скорость этой частицы (рис. 25). Решение Согласно условию задачи, частица движется равномерно и прямолинейно (). По первому закону Ньютона геометрическая сумма сил, действующих на частицу, равна нулю. В данном случае на частицу действует сила Лоренца , где – электрическая составляющая силы Лоренца, – её магнитная составляющая (рис. 25).

Следовательно, , т. е. электрическая и магнитная силы равны по модулю и противоположно направлены:

откуда скорость частицы равна:

Согласно условию (), поэтому

.

Размерность:

.

Подставляем числовые данные: .

Получаем при вычислении: .

Пример 4. Электрон влетает со скоростью 600 м/с в область пространства, где имеются сонаправленные однородные электрическое и магнитное поля, под углом 60° к силовым линиям полей. Напряженность электрического поля 0,2 кВ/м, индукция магнитного поля 20 мТл. С каким ускорением станет двигаться электрон в этой области пространства? (рис. 26). Решение Согласно второму закону Ньютона, ускорение электрона имеет вид: , где – сила Лоренца, действующая на электрон со стороны электрического и магнитного полей; – масса электрона. Сила Лоренца определяется по формуле

,

где – электрическая составляющая силы Лоренца; – её магнитная составляющая (рис. 26).

Вектор направлен противоположно вектору , так как заряд электрона отрицательный. Вектор магнитной силы перпендикулярен вектору магнитной индукции. Следовательно, векторы и взаимно-перпендикулярны.

Модуль силы находится по теореме Пифагора:

,

где – модуль заряда электрона (элементарный заряд).

Ускорение

.

Направление совпадает с направлением вектора , определяемом по правилу сложения векторов.

Подставим числовые значения:

= 600 м/с; = 60°; = 0,2 кВ/м = 200 В/м; = 20 мТл = 2·10^-2 Тл; = 1,6 ·10^-19 Кл; = 9,11·10^-31 кг.

Вычисления дают: = 3,5 ·10¹³ м/с².

Пример 5. Шарик массой , заряженный положительным зарядом и подвешенный на нити длиной , движется по окружности в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией. Определите кинетическую энергию шарика, если во время движения нить образует угол с вертикалью.

Решение

Выберем систему отсчета x0y, начало которой поместим в ту точку пространства, где находится шарик в начальный момент времени. Предположим, что нить – невесома, нерастяжима и неэлектропроводна. Заряженный шарик примем за материальную точку. Заряд шарика будем считать точечным.

На шарик действуют сила тяжести , сила натяжения нити и сила со стороны магнитного поля (рис. 27).

По второму закону Ньютона

. (а)

Направление всех сил указано на рис. 27 в предположении, что вектор магнитной индукции направлен вверх, а шарик движется по часовой стрелке.

Запишем уравнение (а) в проекциях на выбранные оси координат

; (б)

. (в)

После преобразования, получаем

; (г)

. (д)

Разделим (г) на (д), получим

. (и)

Шарик движется с нормальным ускорением , (к)

где – линейная скорость шарика по окружности, – радиус окружности.

Из чертежа следует:

. (л)

Сила Лоренца определяется выражением

, (м)

где = 90° (по условию задачи),

С учетом выражений (к)–(м) уравнение (и) принимает вид:

,

или

.

Решаем квадратное уравнение относительно переменной :

,

получаем

.

Так как модуль скорости > 0, то из последнего выражения следует:

.

Кинетическая энергия определяется соотношением:

.

Дата добавления: 2014-01-04