Статистические характеристики стационарного процесса

Обычно используют следующие усредненные параметры:

Здесь: М1 – математическое ожидание или среднее значение процесса S(t) на интервале Т; Д – дисперсия значений процесса, М2 – центрированная дисперсия. При большом Т у стационарного процесса М1=0 и М2=Д.

Используют также ниже следующие усредненные характеристики.

Корреляционная (или автокорреляционная) функция характеризует меру связанности процесса:

где q - текущее время внутри области интегрирования, t - разность времени (интервал) между точками, в которых берутся значения S(t).

Корреляционная функция стационарного процесса зависит только от t (т.е. R(τ)), причем R(0)= Д. Если корреляционную функцию разделить на дисперсию Д, то получим нормированную корреляционную функцию r(t) = R(0)/ Д у которой r(0) =1.

Если r(t)>0,5, то говорят, что есть взаимная связь между значениями S(t) и S(t- t ). Наоборот, если r(t)<0,5, то связи между ними нет. Величина t_к, при которой r(t_к)= 0,5, называется интервалом корреляции. Таким образом, в интервале от t=0 (r(0)=1) до t=t_к (r(t_к)=0,5) связь между S(t) и S(t- t ) есть, а при t>t_к её нет.

По аналогии с автокорреляционной используется понятие взаимнокорреляционной функции:

_¥

R_xy(t) = ò x(q-t)y(q)dq.

^¥

Эта функция характеризует меру связанности двух процессов x(t) и y(t) в различные моменты времени, разделенные во времени интервалом t.

Преобразование Фурье (или спектр) процесса S(t) дает амплитудное распределение частотных составляющих:

,

Зная F_s (w) можно восстановить значение исходной функции S(t), воспользовавшись рядом Фурье:

.

Или, осуществить более полное восстановление, с помощью обратного преобразования Фурье:

_¥

S(t)=1/2p ò F_s (w) e ^{- i w t} d w.

^¥

Энергетический спектр сигнала, или распределение по мощности частотных составляющих определяется с помощью преобразования Фурье от корреляционной функции:

.

Как и в предыдущем случае, восстановить корреляционную функцию можно с помощью обратного преобразования Фурье.

Всякий процесс можно описать не только гармоническими (синусоидальными) функциями, но и полиномами:

Такое описание позволяет производить экстраполяцию функции за пределы наблюдения (прогноз), интерполяцию (детальное изменение между двумя точками) и сглаживание (исключение выбросов от случайных помех). Коэффициенты а_i определяются путем решения системы алгебраических уравнений.

Аналогичное описание процесса может быть сделано ортогональными функциями:

, где .

Условие ортогональности выражается следующим образом:

_Т

I = ò P_i(t) P_j(t) d t = { =1 при i=j и =0 при i¹j }.

⁰

Дата добавления: 2014-01-04