Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Інтегрування дробово-раціональних функцій

Читайте также:
  1. Визначення переміщень в пружних системах шляхом інтегрування диференціального рівняння пружної осі балки
  2. Інтегрування деяких видів ірраціональних функцій
  3. Інтегрування елементарних раціональних дробів
  4. ІНТЕГРУВАННЯ ПОКАЗНИКІВ ПЕРЕНОСНИХ ВИМІРНИКІВ
  5. Інтегрування раціональних дробів
  6. Інтегрування тригонометричних функцій
  7. Інтегрування частинами
  8. Поняття диференціювання й інтегрування.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНИХ ДЖЕРЕЛ

Основна література

1. ДБН В.2.2-9-99. Громадські будинки і споруди. Основні положення. К.: Держбуд України, 2004. - 46 с.

2. ДБНВ.2.2-20:2008. Громадські будинки і споруди. Готелі. К.:Мінрегіонбуд України, 2009. – 39 с.

3. ДБНВ.2.2-25:2009. Громадські будинки і споруди. Підприємства харчування (заклади ресторанного господарства). К.:Мінрегіонбуд України, 2010. – 85 с.

4. Кравченко В.С., Саблій Л.А., Давидчук В.І., Кравченко Н.В Інженерне обладнання будівель. .- К.: Видавничий дім Професіонал, 2008. – 480 с.

5. Ливчак Й.Ф., Иванова Н.В. Основы санитарной техники. -М.: Высш.шк., 1984. – 184 с.

6. Соснин Ю.П. Инженерные сети, оборудование зданий и сооружений. - М. Высшая школа, 2005. – 416 с.

 

Додаткова література

1. Байлик С.И. Гостиничное хозяйство. Проблемы, перспективы, сертификация. – Киев: ВИРА-Р, 2001. – 208 с.

2. ГОСТ 28681.4-95. Міждержавннй стандарт. «Туристсько-екскурсійне обслуговування».- Мінськ / МСМС СНД, 1997.

3. Костенко Е.М. Системы кондиционирования и вентиляции. – К.: Основа. 2006. – 448 с.

4. Ляпина И.Ю. Организация и технология гостиничного обслуживания. – М.: ПрофОбрИздат, 2001. – 207 с.

5. Роглєв Х.Й. Основи готельного менеджменту. Навч посібник. – К.: Кондор, 2005. - 256 с.

6. СНиП 2.04.01-85. Внутренний водопровод и канализиция зданий. – М.: Госком СССР по делам строительства, 1986. – 56 с.

7. СНиП 2.01.02-85. Протипожежні норми. – М.: Госком СССР по делам строительства, 1986. – 8 с.

8. СНиП 2.04.05-91. Отопление, вентиляция и кондиционирование. – М.: Госком СССР по делам строительства, 1992. – 64 с.

9. Шаповал С.Л. Громадс ьке будівництво. Курс лекцій. – К.: КНТЕУ, 2008. – 208 с.350

Означення. Раціональним дробом називається дріб вигляду , де Р(х) та Q(х) - многочлени. Раціональний дріб називається правильним, коли степінь Р(х) нижчий степеня Q(х), в протилежному випадку дріб називається неправильним. У неправильному дробі завжди можна виділити цілу частину і зобразити його у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу. Кожний правильний дріб розкладається на суму елементарних раціональних дробів типу:

(m – ціле число, m > 1),

(n – ціле число, n > 1, квадратний тричлен х2 + рх +q не має дійсних коренів).

Такий розклад є єдиний, але методи розкладу різноманітні, з яких найбільш уживаний метод невизначених коефіцієнтів. Цей метод ґрунтується на наступному:

1) якщо задано неправильний раціональний дріб, треба виділити з нього цілу частину, тобто привести до вигляду:

= де М(х) – многочлен, а - правильний раціональний дріб;

2) розкласти знаменник дробу на прості множники першого та другого степеня:



де < 0, тобто тричлен не має дійсних коренів;

3) правильний раціональний дріб розкласти на суму елементарних:

обчислити невизначені коефіцієнти А1, А2,…, Аm,…, В1, С1, В2, С2,…, Вn, Сn,…; для цього привести останню рівність до спільного знаменника, а потім порівняти коефіцієнти при однакових степенях х в лівій і правій частинах одержаної тотожності та розв’язати систему лінійних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів. Ці невідомі коефіцієнти можна знайти іншим способом, надаючи в одержаній тотожності змінній х довільних числових значень. В багатьох випадках корисно використовувати обидва способи обчислення невідомих коефіцієнтів.

4) Розглянемо інтегрування елементарних раціональних дробів:

<0.

Спочатку виділяють в чисельнику дробу похідну знаменника, тобто чисельник записують в вигляді:

Тоді:

В першому інтегралі чисельник є похідною знаменника, тому

Перш ніж знайти другий інтеграл, треба перетворити квадратний тричлен в знаменнику, виділивши повний квадрат:

Тоді другий інтеграл зводиться до табличного арктангенса, або “високого” логарифма.

Приклад 1. Знайти інтеграл: .

 

Зауваження. Якщо квадратний тричлен має вигляд (ax2+bx+c), тоді його треба перетворити так:

і звести знаходження інтеграла до розглянутого раніше інтеграла .

Приклад 2. Знайти інтеграл .

Розкладемо дріб на елементарні дроби.

Зведемо до спільного знаменника вираз у правій частині та прирівняємо чисельники дробів.

Звідки ,

Остаточно отримаємо

.

Зауваження. Інтеграл виду , < 0, n ³ 2 підстановкою зводиться до суми інтегралів:

Перший з цих інтегралів обчислюється безпосередньо, а другий за рекурентною формулою:

Інтегрування найпростіших ірраціональних функцій.

а) Інтеграли типу де R - раціональна функція, m1, n1, m2, n2, …- цілі числа, зводяться до інтегралів від раціональних функцій підстановкою де s – спільний знаменник показників степенів

Приклад 3. Знайти інтеграл: .

Спільний знаменник дробів , дорівнює s = 6. Застосовуємо підстановку 3+2х = t6 звідки тоді ,

Отже,

.

Інтегрування деяких тригонометричних функцій.

 

Інтеграли типу зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою універсальної підстановки

Тоді

Приклад 4. Знайти інтеграл: .

 

 

 

Слід зауважити, що універсальна підстановка в багатьох випадках веде до складних обчислень, тому на практиці здебільшого застосовують інші підстановки, за допомогою яких швидше можна знайти інтеграл, а саме:

а) якщо - непарна функція відносно , тобто якщо то приймають cos x = t;

б) якщо - непарна функція відносно , тобто якщо то приймають sin x = t;

в) якщо - парна функція відносно і , тобто якщо то приймають tg x = t.

Приклад 5. Знайти інтеграл: .

Приклад 16. Знайти інтеграл: .

Розглянемо кожен інтеграл окремо:

.

Для знаходження І2 скористаємося методом інтегрування частинами.

Остаточно матимемо:

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Система автоматичного регулювання роботи інженерних систем | Правова охорона торговельних марок

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 9864; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2019) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.009 сек.