Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла

Интегрирование по частям

Пусть u=u(x) и v=v(x) непрерывно дифференцируемы на некотором промежутке, тогда справедлива формула интегрирования по частям:

.

Пример: , где

, ; тогда , .

Рассмотрим задачу вычисления площади криволинейной трапеции.

Пусть криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции y=f(x) (f(x)>0 на [a;b]), снизу отрезком [a;b], справа и слева соответственно прямыми x=a и x=b.

Для нахождения значения площади криволинейной трапеции заменим ее ступенчатой фигурой: разбиваем отрезок [a;b] на n частей точками а=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b. На каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i] выберем точку ξ _i и построим прямоугольник с основанием [x_i-1;x_i] и высотой f(ξ_i).

Определение Если существует предел интегральных сумм при λ→0 (где ), не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a;b] на частичные ни от выбора точек ξ _i, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b].

Обозначают: ,где

а – нижний предел интегрирования,

b – верхний предел интегрирования.

Свойства определенного интеграла

1. .

2. .

3. , где СЄ[a;b].

4. .

5. .

6., где С=const.

Дата добавления: 2014-01-04