Параметры кинематики вращательного движения

Задачи

1. На платформу массой 40 т поставили контейнер массой 20 т со скоростью 0,5 м/с. Определить наибольшую деформацию рессор вагона и смещение положения равновесия платформы. Коэффициент упругости рессор 2 10⁶ Н/м.

2. В составе из шести одинаковых стоящих вагонов крайний вагон под действием пружин автосцепки оттолкнулся от остальных. Пружины были сжаты на 5см. Коэффициент упругости пружин 2·10⁵ Н/м. Определить скорости вагонов после разъединения.

3. Вагон массой 60 т, двигаясь со скорость 1 м/с, сталкивается с пятью стоящими таким же вагонами. Определить скорость вагонов после сцепления и максимальную деформацию пружины автосцепки, если коэффициент упругости 2·10⁵ Н/м.

4. Вагон массой 60 т, двигаясь со скоростью 1 м/с, сталкивается со стоящим вагоном массой 20 т. Определить, произойдет ли сцепление вагонов. Коэффициент упругости пружин автосцепки 2·10⁵ Н/м. Сцепление происходит при деформации пружин не менее 5 см. Определить наибольшую силу удара и потери механической энергии.

5. На платформу массой 20 т, движущейся со скоростью 1м/с, высыпан песок массой 40 т за время 10 с. Определить зависимость скорости платформы от времени погрузки и мощность тепловыделения при трении песка о платформу.

6. По платформе массой 20 т начал движение танк массой 50 т со скоростью 1 м/с относительно платформы. Определить скорость движения платформы по рельсам.

7. С платформы массой 50 т был произведен выстрел снарядом массой 50 кг со скоростью 500 м/с вдоль рельсов. Определить скорость платформы после выстрела и теплоту сгорания пороха, если КПД пушки 20%. Трением пренебречь. Определить скорость снаряда, если платформа была бы заторможена.

9. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Вращательным движением твердого тела относительно оси является движение, при котором траектории точек тела являются концентрическими окружностями, центры которых находятся на линии, являющейся осью вращения.

Любая точка твердого тела при вращении движется поступательно по круговой траектории. Однако параметры поступательного движения (путь, скорость, ускорение) для разных точек тела являются различными. Общим параметром движения будет угол поворота тела вокруг оси. Для любой точки тела это угловой путь φ. Радиус-вектор проводится из центра окружности в точку. В системе СИ угловой путь измеряется в радианах.

Быстроту изменения углового пути характеризуют угловой скоростью. Мгновенное значение угловой скорости равно отношению изменения угла поворота за бесконечно малое время ко времени поворота:

. (9.1)

То есть угловая скорость равна первой производной от угла поворота по времени.

Для указания направления вращения угловую скорость считают аксиальным вектором, то есть вектором, направленным по оси вращения. Направление вектора угловой скорости можно определить правилом буравчика: если буравчик вращать вместе с телом, то направление поступательного движения буравчика совпадает с вектором угловой скорости. Единица измерения угловой скорости в СИ радиан в секунду (рад/с).

Быстроту изменения угловой скорости характеризуют угловым ускорением. Угловое ускорение равно отношению изменения угловой скорости за бесконечно малое время ко времени этого изменения:

. (9.2)

То есть угловое ускорение равно первой производной от угловой скорости по времени. Угловое ускорение, как и угловая скорость, является аксиальным вектором. Если скорость вращения увеличивается, то вектор углового ускорения направлен по вектору угловой скорости, при торможении – наоборот. Единица измерения в СИ (рад/с²).

Применяются внесистемные единицы измерения. Угловой путь измеряют как число оборотов тела вокруг оси N. Так как в одном обороте 2 π радиан, то . Скорость вращения характеризуют частотой, то есть числом оборотов за единицу времени (за одну секунду или за одну минуту). Соотношение с угловой скоростью будет или .

Между параметрами поступательного и вращательного движения точки тела существует связь. Путь точки – это длина дуги окружности, равная произведению угла поворота на радиус окружности . Определив первую производную по времени, получим формулу для скорости . Чтобы соблюдалось соотношение между векторами линейной и угловой скорости, его записывают в виде векторного произведения

. (9.3)

Тангенциальное ускорение точки определим как первую производную от скорости: . Нормальное ускорение .

При равнопеременном вращательном движении, то есть с постоянным угловым ускорением, формулы углового пути и скорости аналогичны формулам при поступательном равнопеременном движении

. (9.4)

Дата добавления: 2014-01-04