Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение

Затухающие колебания

В реальных системах всегда существуют некоторые силы сопротивления, препятствующие развитию колебательных процессов. Для установления характера колебательного движения в этом случае будем считать, что наряду с упругой или квазиупругой силой F_y в системе действует сила трения, пропорциональная скорости и направленная противоположно ей: F_тр = . Тогда учет влияния этих двух сил на характер движения приводит к следующему дифференциальному уравнению:

8)

Разделив левую и правую части уравнения (8) на m, обозначив r/m = 2b и сохранив обозначение к/m = w₀² , приведем это уравнение к виду:

(9)

Решение этого уравнения имеет вид:

(10)

Формула (10) представляет собой смещение при затухающем колебании как функцию времени и параметров системы b и w. Коэффициент b = r/2m имеет смысл коэффициента затухания. Из формулы (10) видно, что в затухающих колебаниях амплитуда уменьшается со временем. Причем, колебания затухают тем быстрее, чем больше коэффициент затухания b. По сравнению с гармоническими колебаниями уменьшается также и циклическая частота колебаний w. Это уменьшение зависит от коэффициента затухания. Оказывается, что

(11)

Колебательный процесс может происходить лишь при условии: (w₀² - b ²)>0, когда частота w в формуле (11) является действительной величиной. Если же затухание в системе слишком велико (w₀ < b), то под корнем в формуле (11) оказывается отрицательная величина, - в этом случае движение не имеет периодического характера.

Графически затухающее колебания представлено на рис.2, где сплошной линией показана зависимость смещения от времени, а пунктирной - экспоненциальный закон убывания амплитуды.

2.2. Декремент затухания и логарифмический декремент затухания.

Уже указывалось, что быстрота убывания амплитуды затухающих колебаний характеризуется коэффициентом затухания b, который зависит от параметров системы. На практике затухание колебаний удобнее характеризовать декрементом затухания d, представляющим собой отношение двух последовательных амплитуд, разделенных периодом колебаний Т (см. рис.2):

Натуральный логарифм этого отношения, называемый логарифмическим декрементом затухания l, весьма просто связан с коэффициентом затухания и периодом:

или l = bT. (12)

Удобство использования логарифмического декремента затухания l для характеристики затухающих колебаний заключается в простоте его экспериментального определения. Если затухающие колебания зарегистрированы в виде соответствующего графика (см.рис.2), то необходимо в любых единицах измерить две амплитуды колебаний, разделенные интервалом времени, равным периоду, и найти натуральный логарифм их отношения. Определив таким образом величину l и зная период Т, легко найти и коэффициент затухания b.

Дата добавления: 2014-01-04