Тапсырмалар. Айналмалы қозғалыс кезінде массаның ролін инерция моменті, ал сызықтық жылдамдықтың ролін бұрыштық

R F

О

a

l A

10 – сурет 11- сурет

Айналмалы қозғалыс кезінде массаның ролін инерция моменті, ал сызықтық жылдамдықтың ролін бұрыштық жылдамдық атқаратынын білеміз, ендеше F күштің осьтің кейбір 0 нүктесіне қатысты күш моменті М деп келесі өрнекпен анықталатын векторлық шаманы айтады: M = [ rF ] (5.12)

Мұндағы r -радиус вектор, ал l -күш иіні деп аталады. М векторының бағыты бұрғы ережесі бойынша анықталады. Күш моменті денені берілген осьтен айналдыра алу қабілетін сипаттайды. Қозғалмайтын О нүктесіне қатысты күш моменті дегеніміз О нүктесінен күш түсіп тұрған А нүктесіне дейін жүргізілген радиус-вектор мен күштің векторлық көбейтіндісі арқылы анықталатын физикалық шама (10-сурет), мұндағы М –псевдовектор, оның бағыты бұранданы r векторынан Ғ векторына қарай айналдырғандағы оң бұранданың ілгерілемелі қозғалысына сәйкес келеді. Күш моментінің модулі M=Frsina=Ғl (5.13)

мұндағы a - r мен F векторлары арасындағы бұрыш. rsina l – күш иіні, күш әсер ететін сызық пен О нүктесі арасындағы ең қысқа аралық.

Қатты дененің айналысы кезіндегі сыртқы күштердің жұмысын анықтайық (11-сурет). Айналу осінен r қашықтықта орналасқан В нүктесіне Ғ күш түсірілген. Күштің бағыты мен r радиус-вектордың арасындағы бұрыш- a. Қарастырып отырған дене абсолют қатты дене болғандықтын осы күштің жұмысы денені түгелімен бұруға кеткен жұмысқа тең. Денені өте аз dj бұрышқа бұрғандағы күш түсу нүктесі ВdS=rdj жол жүреді және жұмыс күштің ығысу бағытына проекциясы мен ығысу шамасының көбейтіндісіне тең: dA=Ғsina rdj (5.14)

(5.13) ескере отырып, келесі өрнекті жазамыз dA=M_z dj (5.15)

мұндағы Frsina=Ғl=M_z – z осіне қатысты күш моменті. Соныменен, дененің айналуы кезіндегі жұмыс әсер етуші күш моменті мен бұрылу бұрышының көбейтіндісіне тең.

Денені айналдыру кезіндегі жұмыс оның кинетикалық энергиясының артуына жұмсалады: dA =dT, бірақ dT = d(J_zw²/2) = J_zw dw сондықтан M_z dj = J_zw dw немесе M_z (dj/ dt) =J_zw(dw/ dt) w=dj/ dt екенін ескерсек, келесі өрнек шығады M_z=J_z(dw/ dt) =J_ze (5.16)

(5.16) теңдеу қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің айналмалы қозғалысының динамика теңдеуі болып табылады. Айналмалы қозғалысты ілгерілемелі қозғалыспен салыстырғанда әрқашанда олардың арасындағы сәйкестікті қарастырады. Сондай сәйкестіктердің бірі ілгерілемелі қозға-лыстағы импульс шамасына айналмалы қозғалыста импульс моменті болып табылады. Қозғалмайтын нүктеге қатысты материалдық нүктенің импульс моменті дегеніміз келесі векторлық көбейтінді арқылы анықталатын физикалық шама болып табылады: L =[ rp ]=[ r m v ] (5.17)

мұндағы r - қозғалмайтын нүктеден материалдық нүктеге дейін жүргізілген радиус-вектор; m v –материалдық нүктенің импульсі; L –псевдовектор, оның бағыты оң бұранданы r векторынан p векторына қарай бұраған кездегі оның ілгерілемелі қозғалысының бағытына сәйкес келеді.

Импульс моменті векторының модулі L=rpsina=m v rsina=pl (5.18)

мұндағы a - r және p векторларының арасындағы бұрыш, l- қозғалмайтын нүктеге қатысты p векторларының иіні.

Оське қатысты қатты дененің импульс моменті жекелеген бөлшектерінің импульс моменттерінің қосындысына тең:

_{n n n}

L_z =S m_i v_i r_i =S m_i r²_i w=wS m_i r _i²=J_z w яғни L_z =J_z w (5.19)

^{i=1 i=1 i=1}

Осы теңдеуді уақыт бойынша дифференциялдасақ, онда:

d L_z /dt=J_zd w / dt=J_ze =M_z яғни d L_z /dt= M_z

Бұл өрнек те қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің айналмалы қозғалысының динамика теңдеу і болып табылады: оське қатысты қатты дененің импульс моментінің туындысы осы оське қатысты күш моментіне тең. Вектор түрінде жазатын болсақ d L/ dt= M (5.20)

Тұйық жүйеде сыртқы күштердің моменті M =0 және d L/ dt=0, осыдан

L = const (5.21)

(5.20) өрнек импульс моментінің сақталу заңы болады: тұйық жүйеде импульс моменті сақталады, яғни уақыт өтуіне қарай өзгермейді.

Импульс моментінің сақталу заңы- табиғаттың фундаментальды заңы болып табылады. Ол кеңістіктің симметриялылығы-изотроптығымен байланысты. Айналмалы қозғалыс динамикасының теңдеуі қатты денелердің қозғалысы денеге әсер ететін күштер және осы күштердің

моменттері арқылы анықталады.

Қатты дене тепе-теңдік күйде болуы үшін мына шарттардың орындалуы қажет:

1. Денеге түсірілген барлық сыртқы күштердің векторлық қосындысы

нольге тең болуы тиіс.

2. Кез келген қозғалмайтын оське қатысты сыртқы күштердің моменті

нольге тең болуы тиіс.

Дененің айналмалы қозғалысын сипаттайтын шамалар мен қозғалмайтын оське қатысты айналысын анықтайтын теңдеулерін және оның ілгерілемелі қозғаласының сипаттамаларын салыстыру 1-кестеде көрсетілген.

1-кесте.

Ілгерілемелі қозғалыс	Айналмалы қозғалыс
Физикалық шама	Белгіленуі немесе формуласы	Физикалық шама	Белгіленуі немесе формуласы
Масса Жылдамдық Үдеу Күш Импульс Динамиканың негізгі теңдеуі Жұмыс Кинетикалық энергия	m v=dr/dt a=dv/dt F p=m v F=ma F=dp/dt dA =Fs dS mv^2/2	Инерция моменті Бұрыштық жылдамдық Бұрыштық үдеу Күш моменті Импульс моменті Динамиканың негізгі теңдеуі Жұмыс Кинетикалық энергия	I w=dj/dt e=dw/dt Mz немесе М Lz=Jz w Mz=Jze M = dL /dt Mz dj Jzw^2/2

Бақылау сұрақтар

§ Айналмалы қозғалыстың анықтамасын беріңіз.

§ Инерция моменті деген не?

§ Айналмалы қозғалыстағы дененің инерция моментінің ролі қандай?

§ Айналмалы қозғалыс үшін кинетикалық энергияның формуласын қалай қортып шығаруға болады?

§ Қозғалмайтын нүктеге қатысты күш моменті деген не? Күш моментінің бағыты қалай анықталады?

§ Қатты дененің айналмалы қозғалысы үшін динамиканың негізгі теңдеуін қорытып шығарыңыз.

§ Материалдық нүктенің, қатты дененің импульс моменті деген не? Импульс моментінің бағыты қалай анықталады?

§ Импульс моментінің сақталу заңын түсіндіріңіз.

5.1. Инерция моменті 2 кг·м² болатын маховик w₀ бұрыштық жылдамдықпен және 0,21рад/с² бұрыштық үдеумен айналып тұрып, 0,42Н·м күш моментінің әсерінен 1 мин уақыттан кейін барып тоқтайды. Маховикті біртекті диск деп қарастырыңыз. Маховиктің бұрыштық жылдамдығын анықтаңыз.

5.2. Радиусы 0,5 м массасы m болатын біртекті дискнің шетіне 100 Н күш әсер етеді. Осы күштің әсерінен диск айналысқа келгенде оған әсер ететін күш моменті-2 Н·м. Дискнің бұрыштық үдеуін және массасын анықтаңыз.

5.3. Ұзындығы 1 м, массасы 2,5 кг болатын біртекті стерженьнің бұрыштық үдеуін анықтаңыз. Айналу осі стерженьнің ортасынан перпендикуляр бағытта өтеді. Айналдыру моментін 100 Н·м деп алыңыз.

5.4. Диаметрі 0,5 м, массасы 0,25кг, болатын шар горизонталь жазық бетте 10 с^-1 жиілікпен домалайтын болса, онда шардың кинетикалық энергиясы W қандай болады?

5.5. Массасы 1 кг болатын біртекті тұтас цилиндр тәрізді жасалған қозғалмайтын блок арқылы өтетін салмақсыз жіптің ұштарына массалары 1 және 2 кг болатын екі дене ілінген. Блок осіндегі үйкелісті ескермей, жүктердің үдеуін, керілу күштерінің қатынасын Т₂/Т₁ анықтаңыз.

II БӨЛІМ

ТЕРБЕЛМЕЛІ ЖӘНЕ ТОЛҚЫНДЫҚ ПРОЦЕСТЕР

§ 6. МЕХАНИКАЛЫҚ ТЕРБЕЛІСТЕР МЕН ТОЛҚЫНДАР

1. Гармониялық тербеліс. Белгілі уақыт аралығында дәлме-дәл қайталанып отыратын қозғалыстарды тербеліс деп атайды. Мұндай қозғалыстар уақыттың белгілі мезетінде ғана өтіп отырады. Қабырға сағатының маятнигінің қозғалысы, қатты дененің молекулаларының қозғалысы, белгілі бір уақыт аралығындағы дүркін-дүркін қайталанып отыратын қозғалыстар тербелістерге мысал бола алады. Олай болса, дененің қозғалыс күйінің тең уақыт аралығында қайталанып отыруын периодты тербелістер деп атайды. Тербелістегі дененің іргелес екі қозғалыс күйінің аралығындағы уақыт период (Т) деп аталады. Немесе, толық бір тербеліске кететін уақыт тербеліс периоды деп аталады. Периодты қозғалыс заңдылығын математикалық түрде мынадай теңдік арқылы жазуға болады: F(t+T)=f (T), мұндағы Т -тербеліс периоды.

Көптеген тербелмелі қозғалыстардың негізгі түрі гармониялық тербеліс. Гармониялық тербелмелі қозғалыс деп нүкте қозғалысының тепе-теңдік қалпынан ауытқу шамасының синусоида немесе косинусоида бойымен периодты түрде қайталанып отыруын айтамыз.

Егер тербелістегі нүктенің тепе-теңдік қалпынан ауытқу шамасын х арқылы белгілесек, онда осы ауытқудың уақытқа байланысты өзгеруі мына формуламен өрнектеледі: х=Acos(wt+j₀) немесе у=Аcos(wt+j₀) (6.1) Енді қозғалыстағы нүктенің кинематикасын қарастырайық. А нүктесі радиусы R шеңбер бойымен тұрақты w бұрыштық жылдамдықпен сағат тіліне қарсы бағытта бір қалыпты қозғалысын (12-сурет). Егер алғашқы t=0 уақыт мезетінде оның орны К₀ -ге сәйкес келсе, онда нүкте t уақыттан кейін шеңбер бойымен қозғала отырып j=wt бұрышына бұрылады.

B w К₁ нүктесінің Х және Y осьтеріндегі проекциаларын

М және N арқылы белгілейік. К₁ нүктесі шеңбер

N К₁ бойымен қозғалғандықтан М, N нүктелері Х,Y

осьтері бойынша периодты түрде қайталанып орын

ауыстырады. Сөйтіп, М,N нүктелері О нүктесінің

j маңында Х,Y осьтері бойымен тербелмелі қозғалыс

K₀ жасайды. Олай болса, М және N нүктелерінің

уақытқа байланысты ауытқуы (6.1) формулалар

бойынша анықталады, яғни 12-суретте көрсетілген-

дей, бұл формулаларды мына түрде жазуға болады:

12-сурет OM=x=Acosj=Acoswt; ON=y=Asinj=Asinwt

Егер t=0 мезетте тербелістегі нүкте өзінің тепе-теңдік қалпында болмаса, онда оның алғашқы фазасы (j₀) туралы сөз болады. Сонда соңғы теңдеулер (6.1) формулаға ұқсас болып шығады.

Сонымен, егер нүкте шеңбер бойымен бір қалыпты айналмалы қозғала-тын болса, онда оның диаметрге түсірілген проекциалары сол диаметр бойымен гармониялық тербелмелі қозғалыс жасайды. Бұл айтылған пікір гармониялық тербелмелі қозғалыстың кинематикалық анықтамасын сипаттайды.

Тербелістегі нүктенің тепе-теңдік қалпынан ең үлкен ауытқуын оның амплитудасы A деп атайды. Ал тербеліс периодына кері шама тербеліс жиілігі n делінеді. Бұл шама бірлік уақыт ішіндегі тербеліс санын көрсетеді. Егер нүкте шеңберді толық бір айналып шықса, онда j=2p, олай болса бұрыштық жылдамдық мына түрде жазылады: w=2p/Т=2pn (6.2)

өйткені n=1/T тең. Сонымен (6.1) формуладағы А -тербелістегі нүктенің амплитудасы, wt+j₀ -оның фазасы, ал j₀ -тербелістің бастапқы фазасы.

2. Гармониялық тербеліс жылдамдығы мен үдеуі. Енді гармониялық тербелмелі қозғалыс жасайтын нүктенің жылдамдығы мен үдеуін анық-тайық. Ол үшін v= dx/dt және a= dv /dt ескеріп, (6.1) формуланы жазайық.

v =dx/d=Awcos(wt+j₀)=(2p/T)Acos(wt+j₀) (6.3)

a=dv/dt=-Aw²sin(wt+j₀)=w² x=-(4p/T²)x (6.4)

(6.4) формуладағы (-) таңбасы үдеудің ауытқудың бағытына қарама-қарсы екендігін көрсетеді.

Сөйтіп, гармониялық тербелістегі нүктенің жылдамдығы тепе-теңдік қалыптың маңында, ал үдеуі ауытқудың шеткі мәндерінде максимум мәніне ие болады. Енді нүктенің қандай күштің әсерінен гармониялық тербеліске келетіндігін табайық. Ньютонның екінші заңы бойынша F=ma.

(6.4) формуланы пайдаланып бұл теңдікті былай жазайық:

F=-mAw²sin(wt+j₀)=-ma²x (6.5)

Бұдан тербелістегі нүктеге әсер етуші күш оның ауытқу шамасына тура про-порционал және әрдайым тепе-теңдік қалыпқа қарай бағытталады. Сондық-тан мұндай күшті қайтарушы күш деп атайды. Олай болса, күштің периоды мен фазасы үдеудің периоды мен фазасына дәл келіп отырады.

Мысал ретінде (6.5) теңдікті қанағаттандыратын серпімді күштерді, яғни Гук заңын алайық: F=-kx. (6.6) мұндағы k=ma² -қа тең.

Егер тербеліс Х осінің бойымен түзу сызықты болады десек, онда үдеу a=d²x/dt² болар еді. Сонда Ньютонның екінші заңы бойынша:

m(d²x/dt²)=- kx; m(d²x/dt²)+kx=0 (6.7)

Осы формула гармониялық тербелмелі қозғалыстың дифференциал теңдеуі деп аталады.

Сонымен, гармониялық тербеліске мынадай динамикалық анықтама беруге болады. Нүктенің гармониялық тербелісі деп ауытқу шамасына пропорционал күштің әсерімен тепе-теңдік қалыптың маңында тербелетін және тербелістің орташа мәніне қарай бағытталған тербелісті айтамыз.

3. Тербеліс энергиясы. Тербелістегі кез келген материалдық нүктенің кинетикалық энергиясы: W_k=m v ²/2. Жылдамдық v =Acos(wt+j₀) болғандықтан W_k=(m/2)A²w²cos²(wt+j₀)=(2p²A²/T²)mcos²(wt+j₀) (6.8)

Сонда тербелістегі нүктенің ауытқуының шеткі мәндерінде кинетикалық энергия нольге тең, ал тепе-теңдік қалыптың маңында максимум мәніне ие болады. Сонымен қатар тербелуші нүктенің потенциалдық энергиясы да бар. Потенциалдық энергия дененің орын ауыстыруы үшін ауытқуды туғызатын сыртқы күштердің істейтін жұмысының шамасымен өлшенеді:

_{x x}

A = W_P =ò Fdx = ò kxdx =(1/2) kx² (6.9)

^{0 0}

Жоғарыда айтылған w=2p/T, k=ma², F=-kx және х=А sin (wt+j₀) өрнектерін пайдалансақ, потенциалдық энергияның шамасын былайша жазуға болады:

W_P=(1/2)kx²=(m/2)w²A²sin²(wt+j₀)=(2p²A² /T²)msin²(wt+j₀) (6.10)

Бұдан тербелістегі нүктенің потенциалдық энергиясы ауытқудың шеткі мәндерінде максимум мәніне ие болады да, тепе-теңдік қалыптың маңында нольге тең болады.

Енді тербелістегі материалдық нүктенің толық энергиясын жазатын болсақ, онда W=W_k+W_Р, яғни

W=(2p²A²/T²)mcos²(wt+j₀)+(2p²A²/T²)msin²(wt+j₀)=

= (2p²A²/T²)m[cos²(wt+j₀)+sin²(wt+j₀)] =(2p²A²m/T²) m

Сонда n=1/Т және cos²(wt+j₀)+sin²(wt+j₀)=1 десек, онда толық энергия

W=2p²A² n² m (6.11)

Сонымен гармониялық тербелістегі нүктенің толық энергиясы нүктенің массасына, амплитуда мен тербеліс жилігі квадраттарына пропорционал болады.

4. Өшетін тербелістің дифференциалдық теңдеуі. Біз өткен тақырып-тарда тербелістің амплитудасы тұрақты болатындығын айттық. Бірақ нақты

жағдайда тербелістегі денеге кедергі күштердің әсерінен амплитуданың

шамасы азайып, тербеліс бірте-бірте өше бастайды. Ал кедергі күшінің шамасы жылдамдыққа тура пропорционал екендігін білеміз, сонда

F_k=-r v (6.12)

мұндағы r -кедергі коэффициенті, минус таңбасы кедергі күшінің қозғалыс бағытына қарама-қарсы екендігін көрсетеді. Енді тербеліс теңдеуін Ньютонның екінші заңы бойынша жазайық: ma=F+F_k (6.13)

мұндағы m -тербелістегі дененің массасы, а -оның үдеуі, F -қайтарушы күш, ол сан жағынан F=-kx, мұндағы k -серпімділік коэффициенті.

Тербелістегі дененің v= dx/dt және a=d²x/dt² деп, қайтарушы және кедергі күштердің мәнін қойып, (6.13) теңдеуді мына түрде жазамыз, яғни

md²x/dt²+r dx/dt+ kx=0 (6.14)

Осы формула өшетін тербелістің дифференциал теңдеуі деп аталады.

Егер бұл теңдеуді шешетін болсақ, онда нүкте тербелісінің ауытқу шама- сының уақытқа байланысын былай көрсетуге болады: x=A₀e^{(- bt / 2m)}sin(wt+j₀)

мұндағы е-натурал логарифмнің негізі, А₀-тербелістің бастапқы амплитудасы. Ал өшетін тербелістің дөңгелектік жиілігі мына формуламен анықталады: w=Ö (k/m)+(b²/4m² ) (6.15)

Бұдан, егер k/m=b²/4m² болса, онда w=0, сөйтіп Т®¥ ұмтылады. Бірақ көптеген практикалық жағдайларда k/m>b²/4m², w~w₀ шамалас болады, яғни w₀=k/m. Мұндағы w₀ -еркін тербелістің жиілігі. А=А_о×е^-bt/2m шамасы t уақыт өткенде өшетін тербелістің амплитудасы.

Енді бір t уақыт мезетінде тербеліс периоды Т -ға артады деп есептеп, амплитудасын салыстыратын болсақ, онда берілген тербеліс үшін At/A(t+T)=e^bT/2m=const болатындығын байқаймыз. Сонда мына шама

d=In e^bt/2m= bT/2m (6.16)

өшетін тербелістің логарифмдік декременті деп аталады да, ол тербелістің өшу тездігін сипаттайды.

5. Еріксіз тербелістің дифференциалдық теңдеуі. Резонанс. Үздіксіз өшпейтін тербеліс болу үшін кедергі күшін жеңе отырып, тербелуші денені қосымша күш арқылы қозғалысқа келтіру қажет. Себебі әсер етуші күштің нәтижесінде істелінген жұмыс кедергіні жеңуге кеткен энергия қорын толтырып отырады.

Олай болса, айнымалы қосымша күш арқылы үздіксіз тербелетін тербелісті еріксіз тербеліс, ал әсер етуші күшті мәжбүр етуші күш деп атайды. Сонда бұл күштің шамасы уақытқа байланысты гармоникалық заң бойынша мына түрде жазылады: F=F_osinwt, мұндағы F_o -мәжбүр етуші күштің амплитудасы, w-оның дөңгелек жиілігі.

Әрине, бұл кезде w¹w₀ тербелістің алғашқы кезде соғуы болады да, кейінірек амплитудасы тұрақты еріксіз тербеліс қалыптасады.

Ньютонның екінші заңын еріксіз тербеліс үшін былай жазуға болады:

m(d²x/dt²⁾=-kx- b(dx/dt)+F₀ sin wt (6.17)

Бұл формула еріксіз тербелістің дифференциал теңдеуі деп аталады.

Теңдеуді шешсек, онда ауытқудың уақытқа байланысын былай өрнектеуге болады: х=Asin(wt+j₀) (6.18)

Еріксіз тербелістің амплитудасы

A=F₀/mÖ w²₀ +w² +bw² /m² (6.19)

бастапқы фазасы tg j=b / m (w²₀ +w) (6.20)

(6.20) формуладан w®w₀ онда еріксіз тербелістің амплитудасы өседі. Егер b=0, яғни кедергі күш жоқ болса, w=w₀ болып A_max артып, шексіз өседі.

Сөйтіп еріксіз тербеліс кезінде w=w₀ болады, амплитуданың артуы резонанс құбылысы деп аталады.

6. Серпімді толқындар. Тербелістердің серпімді ортада таралуын толқындық процесс деп атайды. Тербеліс тараған кезде тербелуші бөлшектер тербеліс процесімен бірге орын ауыстырмай, өздерінің тепе-теңдік қалпының маңында тербеледі.

Егер бөлшектер тербеліс таралатын түзудің бойымен тербелетін болса, онда мұндай толқынды қума толқын деп атайды. Ал егер бөлшектердің тербелісі тербелістің таралу бағытына перпендикуляр болса, онда мұндай толқын көлденең толқын деп аталады.

Ортада таралатын толқындардың көлдененң немесе қума толқын болуы ортаның серпімділік қасиеттеріне байланысты болады. Сұйықтар мен газдарда тек қума толқындар тарайды, ал қатты денелерде көлденең толқындармен қатар қума толқындар тарай алады.

Тербелістің бір фазасының бір тербеліс периоды ішінде таралатын ара қашықтығы толқын ұзындығы деп аталады: l=vT (6.21)

мұндағы v-толқынның таралу жылдамдығы, Т-периоды. Егер n=1/Т екенін ескерсек, v=ln.

Кеңістікте энергия тасымалдайтын толқындар жүгірме толқын деп аталады. Толқындарда энергия тасымалдау сан жағынан энергия ағынының тығыздық векторымен сипатталады.Бұл вектор Умов векторы деп аталады. Умов векторының бағыты энергия тасымалдау бағытымен сәйкес келеді, ал оның модулі толқын таралатын бағытқа перпендикуляр орналасқан беттің бірлік ауданы арқылы бірлік уақыт ішінде тасымалданатын энергияға тең. Х жазықтығында жатқан бөлшек тербелісінің теңдеуі мына түрде жазылады:

x(x,t)=A cosw(t-x/ v ) (6.22)

Осы теңдеу жүгірме толқынның теңдеуі болып табылады. Егер жазық толқын кері бағытта таралса, онда x(x,t)=A cosw(t+x/ v )

Жалпы жағдайда ортада х осінің бойымен оң бағытта таралатын жазық толқынның теңдеуі мынадай болады:

x(x,t)=A cos [w (t-x/ v+j₀ ) (6.23)

Толқынның сипаттамасы үшін толқындық сан енгізіледі

k=2p/ l= 2p/ v T=w/ v (6.24)

Толқындық беті концентрлі сфера болып келген толқын- сфералық толқындар деп аталады, сфералық толқын теңдеуі:

x(r,t)=A₀/r cos (wt-kr +j₀ ) (6.23)

мұндағы r- толқын центрінен ортаның қарастырып отырған нүктеге дейінгі ара қашықтық. (6.23) өрнектен фазалық жылдамдықтың форомуласы шығады: v =w/k, ал топтық жылдамдықты жазатын болсақ, dx/dt=dw/dk=u.

Жиіліктері мен амплитудалары бірдей бір-біріне қарама-қарсы бағытта таралатын екі жүгірме толқынның қабаттасуы нәтижесінде пайда болатын толқын- тұрғын толқын деп аталады. Тұрғын толқынның теңдеуі:

x=x₁+x₂=2Acoskxcoswt=2Acos(2px/ l )coswt (6.24)

Тербеліс амплитудасы максимал болатын нүктелер тұрғын толқын шоғыры деп аталады, ал тербеліс амплитудасы нольге тең болатын нүктелер тұрғын толқын түйіні деп аталады. Шоғыр мен түйін координаталары:

x_ш=±m l/2, x_түй=±(m+1/2) l/2

Бақылау сұрақтар

§ Тербеліс дегеніміз не? Еркін тербеліс деген не? Гармониялық тербелістің анықтамасын беріңіз.

§ Тербеліс амплитудасының, фазасының, периодының, жиілігінің және циклдік жиілігінің анықтамасын беріңіз.

§ Ығысу фазасы мен амплитудасының арасындағы байланысты түсіндіріңіз, гармониялық тербеліс жылдамдығы мен үдеуі арасындағы байланыс.

§ Еркін, еріксіз және өшетін тербелістердің дифференциалдық теңдеуі.

§ Гармониялық осциллятор, серіппелі, физикалық және математикалық маятник дегеніміз не? Физикалық маятниктің келтірілген ұзындығы деген не?

§ Өшу коэффициенті, өшу декременті, өшудің логарифмдік декременті деген не?

§ Апериодты тербелістер қандай жағдайда байқалады? Автотербеліс деген не?

§ Резонанс деген не? Оның ролі қандай?

§ Қума және көлденең толқынға анықтама беріңіздер.

Дата добавления: 2014-01-04