Формула Лапласа

Вопрос

В предыдущем параграфе мы выяснили, что поверхностный слой жидкости обладает дополнительной энергией. Эта энергия, приходящаяся на единицу поверхности жидкости, называется поверхностным натяжением и обычно обозначается буквой s. Сказанное означает, что для увеличения поверхности жидкости на S единиц, без каких-либо других изменений состояния жидкости, в частности без изменения ее температуры, надо совершить работу, равную sS.
Возьмем плоскую проволочную рамку, одна из сторон которой, представляющая собой перемычку длины l, может перемещаться, оставаясь параллельной самой себе (рис. 405). Окунем рамку в раствор мыла в воде. В результате она окажется затянутой тонкой пленкой жидкости, ограниченной с обеих сторон поверхностным слоем. Вследствие стремления поверхностных слоев сократиться пленка будет перемещать перемычку. Чтобы предотвратить перемещение перемычки, к ней нужно приложить силу F, которая уравновесит силу F', действующую на перемычку со стороны пленки. Увеличивая силу F на ничтожно малую величину, переместим очень медленно перемычку в направлении силы F Ha расстояние b. При этом сила F совершит работу, равную Fb. В результате совершения этой работы поверхностный слой жидкости увеличится на 2lb (поверхностный слой имеется с обеих сторон пленки), что приведет к приращению поверхностной энергии на 2lbs.
Приравняв приращение поверхностной энергии работе, совершенной силой F, получим соотношение 2lbs=Fb, откуда F=2ls.
Полученное выражение означает, что поверхностный слой, стремясь сократиться, действует на единицу длины своей границы с силой, равной s. Это позволяет дать другое определение поверхностного натяжения как силы, действующей со стороны поверхностного слоя на единицу длины контура, ограничивающего этот слой. В СИ поверхностное натяжение выражается в ньютонах на метр (Н/м). Отметим, что 1 Н/м=1 Дж/м2.
Измерения силы, действующей на границу пленки жидкости, дают возможность определить поверхностное натяжение жидкости. Простой прибор для грубых измерений

Рис. 405. Рамка, затянутая мыльной пленкой

Рис. 406. Простой прибор для определения поверхностного натяжения жидкостей
такого рода показан на рис. 406. Опустим в воду медную проволочку, изогнутую, как показано на рисунке, зацепим проволочку чувствительным пружинным динамометром и будем очень медленно, без толчков поднимать ее вверх. Показание динамометра будет постепенно увеличиваться и достигнет максимального значения, когда из воды покажется водяная пленка, повисшая на проволочке. Отсчитав показание динамометра и приняв во внимание вес проволочки, мы найдем силу, которая растягивает пленку. При длине проволочки 5 см эта сила составляет около 0,0070 Н; отсюда

Рассмотрим тонкую жидкую плёнку, толщиной которой можно пренебречь. Стремясь минимизировать свою свободную энергию, плёнка создаёт разность давления с разных сторон. Этим объясняется существование мыльных пузырей: плёнка сжимается до тех пор, пока давление внутри пузыря не будет превышать атмосферное на величину добавочного давления плёнки. Добавочное давление в точке поверхности зависит от средней кривизны в этой точке и даётся формулой Лапласа:

Здесь R _1,2 — радиусы главных кривизн в точке. Они имеют одинаковый знак, если соответствующие центры кривизны лежат по одну сторону от касательной плоскости в точке, и разный знак — если по разную cторону. Например, для сферы центры кривизны в любой точке поверхности совпадают с центром сферы, поэтому

R ₁ = R ₂ = R

Для случая поверхности кругового цилиндра радиуса R имеем

Обратите внимание, что Δ p должно быть непрерывной функцией на поверхности плёнки, так что выбор «положительной» стороны плёнки в одной точке локально однозначно задаёт положительную сторону поверхности в достаточно близких её точках.

Из формулы Лапласа следует, что свободная мыльная плёнка, натянутая на рамку произвольной формы и не образующая пузырей, будет иметь среднюю кривизну, равную 0.

Дата добавления: 2014-01-04