Уравнение динамики вращательного движения

Формулу (9) перепишем в виде М= I ∙β (10) – основной закон динамики вращения. (второй закон Ньютона для вращательного движения). Момент вращающей силы, приложенный к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение. Как видно из формулы (10) угловое ускорение, сообщаемое телу вращающим моментом, зависит от момента инерции6 тела, чем больше последний, тем меньше угловое ускорение. Момент инерции характеризует инерционные свойства тела. Обычно на практике рассчитывают моменты инерции относительно осей симметрии тела. Моменты инерции некоторых тел:

1. Стержня длиной l. I = (11).

2. Диска или цилиндра. Ось вращения совпадает с геометрической осью цилиндра I = (12).

3. Шара радиусом R. Ось вращения проходит через центр его

I = (13).

4. Бруска длиной «а» и шириной «в». I = (14).

5. Кольца I = (15).

Опорно-двигательный аппарат человека и животного состоит из сочленения между собой костей скелета, к которым в определенных точках прикрепляются мышцы, которые являются активной частью опорно-двигательного аппарата.

Если известен момент инерции тела относительно оси I₀, проходящей через его центр масс, то момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела и произведения массы «m» тела на квадрат расстояния «d» между осями: I=I₀+md² (16) – теорема Штейнера.

Тело вращается относительно некоторой оси. Пусть М=const и I =сonst. Тело т.е. вращается равноускоренно, тогда угловое ускорение , где ω₀ и ω – начальная и конечная угловые скорости, подставим это в формулу (14), будем иметь или (17). Произведение Mt – называется импульсом момента сил, - называется моментом импульса тела. Формула (17) выражает закон изменения момента импульса.

Изменение момента импульса тела за некоторый промежуток времени равно импульсу момента силы Зв тот же промежуток времени.

Этот закон справедлив и в общем случае переменного вращающего момента М≠const.

Вращающий момент, импульс момента и момент импульса являются векторными величинами; они направлены по оси вращения в соответствии с правилом Буравчика (как и вектор угловой скорости). Единицей момента импульса является (кг∙м²∙с^-1). Рассмотрим частный случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. При М=0, , откуда I ω=const. Пользуясь этим для тел в изолированной системе имеем: (18) , где и - моменты инерций и угловые скорости тел, составляющих изолированную систему. Эта формула выражает закон сохранения момента импульса.

В изолированной системе сумма моментов импульса всех тел – величина постоянная.

Для определения кинетической энергии W_к вращающегося тела с малой массой m_i. Вращается равномерно с угловой скоростью ω на расстоянии «r» от оси вращения. Поступаем следующим образом. Кинетическая энергия одной частицы , где - момент инерции частицы, ω – угловая скорость тела. Суммируя энергии всех частиц имеем: .

Работа, которую тело совершает за счет кинетической энергии вращения, равняется убыли последней (20), где ω₀ и ω – начальная и конечная угловой скорости вращения (роль кинетической энергии махового колеса). Очень часто тело одновременно участвует в поступательном и вращательном движениях, тогда: (движение колес транспорта) (21), где m и I – масса и момент инерции тела, V и ω – его линейная и угловая скорости.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое момент силы? В каких единицах он измеряется?

2. Выведите основной закон динамики вращающегося тела.

3. Что называется моментом инерции? В каких единицах он измеряется?

4. Запишите формулы связи между линейными и угловыми величинами.

5. Дайте понятия угловой скорости и углового ускорения. Их формулы и единицы измерения.

6. Как направлены вектора линейной скорости, угловой скорости, вращающей силы, момента силы, импульс момента, и момент импульса.

7. Сформулируйте законы измерения и сохранения момента импульса (количества движения) для изолированной системы тел.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Дата добавления: 2014-01-04