Уравнения течения жидкости

Жидкости обладают подвижностью (текучестью). Частицы в жидкости могут весьма значительно смещаться относительно друг друга. Реактивная жидкость сжижаема: объем уменьшается, а плотность увеличивается с повышением давления. Однако сжижаемость жидкости очень мала. Поэтому сжижаемостью движущейся жидкости можно пренебречь (давл. от 1 до 100 ат. пл. вода увеличивается на 0,5∙10). Реальные жидкости обладают внутренним трением (вязкостью).

Идеальной жидкостью называется жидкость, которая несжижаема и совершенно не обладает вязкостью. При tº=Оº С (эфир, ацетон, спирт и др.) обладают очень малой вязкостью и поэтому их можно рассматривать как идеальные жидкости.

Течение называется непрерывным если через любое сечение трубы в единицу времени протекает одинаковое количество (объем) жидкости. При этом скорость движения жидкости обратно пропорциональна площади сечений трубы.

Течение жидкости условно изображается линиями тока – это воображаемыми линиями, касательные к которым в каждой точке, совпадают с направлением вектора скорости частиц. (Рис.15)

V

V

V

Рисунок 15

Где скорость больше, линии тока будут гуще, и наоборот. Величина и направление вектора скорости в каждой точке могут меняться со временем то и картина линий тока может непрерывно меняться.

Течение, при котором любая частица жидкости проходит данную точку потока со временем с одной и той же скоростью называется установившимся, или стационарным. При этом линии тока совпадают с траекториями частиц. Линии тока не пересекаются.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Скорости частиц в любом сечении, перпендикулярном оси трубки, считаются одинаковыми во всех точках этого сечения. Частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока.

Рассмотрим течение жидкости по трубке тока с неодинаковым сечением(рис.16). Сечения перпендикулярны к направлению скорости т.к. жидкость несжижаема, не разрывается и не переходит через боковую поверхность трубки, то за ∆t через сечения S₁ и S₂ пройдут одинаковые объемы жидкости V₁=V₂= S₁V₁∆t=S₂V₂∆t или S₁V₁=S₂V₂

V₂

V₁

S₁

Рисунок 16

SV= const (V - скорость частиц в данном сечении) (Рис 16)

Т.е. произведение скорости на поперечное сечение трубки тока идеальной жидкости при установившемся течении есть величина постоянная (уравнение неразрывности струи).

Оно выполняется и для реальных жидкостей и газов. Это уравнение дает возможность определять скорости течения жидкости (или газа) в различных сечениях трубы переменного сечения

S₁V₁=S₂V₂ след.

Т.е. «Скорости в различных сечениях трубы обратно пропорциональны площадям соответствующих сечений».

S₁

l₁

Р₁ S₂ Выделим в стационарной текущей идеальной

V₁ l₂ жидкости трубку тока, ограниченной

сечениями S₁ и S₂. жидкость течет слева

V₂ направо. (Рис.17).

h₁ h₂

Р₂

Рисунок 17

Скорости течения равны V₁ и V₂. Высоты сечений S₁ и S₂ соответственно h₁ и h₂. За малый промежуток времени ∆t жидкость перемещается соответственно на l₁ и l₂.

Работа А внешних сил по перемещению массы «т» жидкость равна, согласно закону сохранения энергии, изменению полной энергии Е₂ – Е₁ жидкости, Е₂ и Е₁- полные энергии жидкости массой «т» в сечениях S₁ и S₂ соответственно А= Е₂ – Е₁ (1)

С другой стороны работа для перенесения массы «т» на расстоянии l₁=V₁∆t и l₂=V₂∆t. Расстояния l₁ и l₂ очень малы и при этом приписываем постоянные значения скорости V, давления Р и высоты h, т.е.

А=F₁l₁+F₂l₂ (2), где F₁=Р₁S₁ и F₂= - Р₂S₂ (отрицательна т.к. направлена в противоположную сторону течению жидкости).

Полные энергии Е₁ и Е₂ равны сумме кинетической и потенциальной массы «т» жидкости:

и

Подставим значения из (3) и (4) в (1) и приравнивая (1) и (2), получим:

Имея ввиду уравнение неразрывности струи объем жидкости ∆V=. Разделим члены выражения (5) на и зная, что плотность ρ= , тогда имеем:

или

Уравнение Бернулли (1700-1782) установил в 1738г.

Уравнение (6) выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Уравнение (6) выполняется и для реальных жидкостей, имеющие малую вязкость.

В уравнение (6) – величина Р – статическое, величина -динамическое и величина ρ gh – гидростатическое давление.

Формулировка уравнения Бернулли:

«При стационарном течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме статического, гидростатического и динамического давлений, остается величиной постоянной в любом поперечном сечении потока». Для горизонтальной трубки тока (h₁=h₂)

Сумма называется полным давлением.

h₁ h₁

h₂

∙

S₂

S₁ S₃

Рисунок 18

Из (7) и уравнения неразрывности струи (4) следует, что при течении по горизонтальной трубе переменного сечения скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т.е. где скорость меньше. (Это видно подъем жидкости в манометрических трубках) (см. Рис.18).

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое давление в жидкости? Какова единица давления в СИ?

2. Что называется идеальной жидкостью?

3. Сформулируйте и поясните законы Паскаля и Архимеда.

4. Что называется линией тока.

5. Сформулируйте и запишите математически уравнение неразрывности.

6. Что характерно для установившегося течения жидкости?

7. выведите уравнение Бернулли.

8. Что называется полным давлением?

9. Запишите уравнение формулы Торричелли (1608-1647) – итальянский физик и математик.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Дата добавления: 2014-01-04