Закон Кулона

Строение вещества

Строение вещества. Закон Кулона. Диэлектрическая проницаемость. Электрическое поле.

Нам всем хорошо знакомо явление электризации тел. Многие предметы, после их натирания, начинают притягивать к себе соринки, кусочки бумаги, шерсти и т.д. Такое притяжение обусловлено находящимися на них электрическими зарядами, а такие предметы называются наэлектризованными.

Электризация тел показывает, что электрические заряды входят в состав вещества. Глубокие исследования физиков, связанные со строением вещества показали, что заряды должны находиться в составе атомов. В обычном, электрически нейтральном веществе, количество положительных и отрицательных зарядов одинаково. Носителями положительных зарядов в атоме вещества являются протоны, а отрицательных – электроны.

Электроны атома располагаются вокруг ядра атома, составленного из протонов и нейтронов (модель Резерфорда), слоями (можно порассуждать, принцип неопределенности, КВ дуализм и т.д.) Электроны, находящиеся в наружном слое (валентные электроны) атома слабее связаны с ядром. Они могут отрываться от ядра, переходить от атома к атому, а могут вообще «выскакивать» за пределы данного тела (эмиссия).

Атомы, у которых от одного до трех валентных электронов, особенно легко их теряют. В веществах с такими атомами наиболее вероятно присутствие свободных электронов, т.е. свободных электрических зарядов. Такие вещества называются металлами. Металлы и их сплавы являются хорошими проводниками электрического тока. Вещества, с количеством валентных электронов от 5 до 8, наоборот, неохотно расстаются с электронами, вероятность нахождения в них свободных отрицательных зарядов низкая и они являются плохими проводниками электрического тока. Такие вещества называются диэлектриками.

Теперь представим себе два заряженных тела, размеры которых малы, по сравнению с расстоянием между ними. Такие тела, в зависимости от того избыток или недостаток в них электронов, могут быть положительно или отрицательно заряженными. Эти тела взаимодействуют друг с другом – притягиваются или отталкиваются. Это проявление электричества изучал французский физик Кулон Шарль Огюстен (1736 – 1806) и выявил закономерность, называемую законом Кулона.

Сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна произведению их величин, обратно-пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, соединяющий эти заряды.

(1.1)

(расшифровать)

1.3 Диэлектрическая проницаемость

Поскольку, электрические заряды входят в состав любого вещества, можно ожидать, что среда окружающая заряженные тела должна влиять на силу взаимодействия между ними. Опыт подтверждает это предположение. Сила взаимодействия между заряженными телами максимальна в безвоздушном пространстве. Любая другая среда уменьшает это взаимодействие.

Другими словами, кф К в формуле (1.1) зависит не только от выбора единиц измерения, но и от свойств среды.

(1.2)

Величина e_с, характеризующая зависимость силы взаимодействия заряженных тел от окружающей среды называется диэлектрической проницаемостью этой среды.

Закон Кулона, с учетом (1.2) будет выглядеть следующим образом:

(1.3)

Та же формула при взаимодействии заряженных тел в вакууме:

(1.4)

Из (1.3) и (1.4):

(1.5)

Эта величина называется относительной диэлектрической проницаемостью.

Величины относительной диэлектрической проницаемости определяются эмпирически – с помощью опытов.

1.4 Электрическое поле (особый вид материи)

Сигналы о далеких событиях мы получаем с помощью какой – то промежуточной среды (примеры). Возникновение сигнала для тех, кто изучает мир научными методами, явление материальное (какие методы изучения мира существуют еще?, порассуждать).

Распространение сигнала – с той же точки зрения - может происходить только в материальной среде. Важнейшим признаком этого утверждения является конечная скорость распространения сигнала (напр. скорость распространения звука в воздухе 330 м/с).

Звуковой сигнал распространяется в воздухе, т.е. в веществе. Однако свет от Солнца доходит до нас в безвоздушном пространстве. А мы только что приняли - сигнал не может распространяться без какой либо среды. Значит в безвоздушном пространстве существует если не вещество, то какой-то другой вид материи.

Эта материя, служащая средой для распространения сигналов в безвоздушном пространстве, называется полем. Таким образом, материя может существовать не только в форме вещества (огонь, вода, земля, воздух – утверждали в древности, можно порассуждать) но и виде поля.

В зависимости от проявления сил взаимодействия между телами в безвоздушном пространстве существуют разные поля. Например, сила тяготения (закон всемирного тяготения) вызывается полем тяготения или гравитационным полем. А поле, передающее воздействие от одного заряда на другой (электрический сигнал), называется электрическим полем. По опыту, скорость распространения такого сигнала 300000 км/с.

Все эти рассуждения убеждают нас в том, что электрическое поле это такая же физическая реальность, как и вещество. Изучение свойств полей позволило осуществлять передачу энергии на расстоянии без проводов (радио- и телевизионные сигналы, лазеры).

Т.о. мы пришли к мысли, что любой электрический заряд создает вокруг себя электрическое поле, с помощью которого он взаимодействует с другими зарядами - по закону Кулона. Электрическое поле действует только на электрические заряды. Обнаружить его можно только, поместив в него пробный электрический заряд. Если поле имеется, то на заряд будет действовать электрическая сила.

Для того, чтобы исследовать поле таким образом, заряд должен быть очень малым, по сравнению с зарядами, создавшими исследуемое поле. В качестве пробного заряда принято использовать положительный заряд.

При движении заряда, в месте с ним перемещается и электрическое поле.

1.5 Напряженность электрического поля. Система СИ.

Пусть, в какое-либо ЭП помещен ЭЗ. Тогда в любой точке этого поля на указанный заряд будет действовать сила. Поэтому ЭП называют еще силовым полем. Ясно, что эта сила характеризуется направлением и величиной (векторная величина, вспомнить векторную геометрию).

В физике существует специальная силовая характеристика ЭП. Сила, которая фигурирует в законе Кулона, не может считаться такой характеристикой, т.к. для одной и той же точки поля эта сила пропорциональна величине помещенного в него заряда (объяснить другими словами).

(1.6)

Коэффициент пропорциональности в формуле остается постоянным для каждой точки поля и может служить искомой характеристикой силового поля.

Силовая характеристика точки электрического поля Е называется напряженностью электрического поля. Она измеряется силой, с которой ЭП действует на единичный положительный заряд, внесенный в данную точку поля.

Напряженность поля есть вектор, направление которого совпадает с направлением Кулоновской силы. Модуль этого вектора определяется соотношением

(1.7)

Единица измерения напряженности электрического поля в системе СИ

Система СИ (рассказать)

Международная система СИ построена так, что коэффициент k в формуле (1.2) принимается равным 1/4p. Закон Кулона в системе СИ имеет вид

(1.8)

В системе СИ за единицу заряда принимается 1 Кулон – это заряд, протекающий через поперечное сечение проводника за 1 с при силе тока в 1 А.

1 Кл очень большой заряд. Измерения показали, что 1 Кл имеется у 625*10¹⁶ электронов (или протонов), а абсолютная величина элементарного заряда (электрона или протона):

е+ (-) = 1,6*10^-19 Кл

Вернемся к напряженности ЭП.

Напряженность электрического поля определяется величиной и относительным расположением зарядов и для каждой точки может быть рассчитана.

Если вспомнить о пробном заряде, то для силы взаимодействия точечных зарядов q и q_пр закон Кулона будет выглядеть:

(1.9)

Т.к. (1.7), то:

(1.10)

По этой формуле можно найти численную (модульную) величину напряженности. А величина Е векторная и совпадает по направлению с силой Кулона.

Если поле создается сразу несколькими зарядами, то суммарная величина

напряженности определяется, как геометрическая сумма (вспомнить векторную геометрию).

1.6 Линии напряженности электрического поля.

Английский физик Фарадей Майкл (1791 – 1867) предложил изображать поля силовыми линиями, для ЭП – линиями напряженности.

Чтобы различить изображения полей положительного и отрицательного зарядов, линию напряженности считают направленной в сторону вектора напряженности Е. Тогда поля положительного и отрицательного зарядов будут отличаться направлением линий напряженности (рисунки).

Сложнее провести линии напряженности для полей, созданных несколькими зарядами, например двумя. Векторы – это прямые линии. А силовые линии кривые. Однако, если силовую линию провести так, чтобы векторы напряженности были касательными к ней, противоречие разрешается.

Итак, линией напряженности называется такая линия, по касательной к каждой точке которой направлены векторы напряженности поля.

При построении графического изображения поля нужно иметь ввиду следующее:

1 линии ЭП нигде не пересекаются друг с другом;

2 имеют начало на положительном заряде (или в бесконечности) и конец на отрицательном заряде (или в бесконечности), т.е незамкнутые линии;

3 между зарядами нигде не прерываются.

Картина поля будет наглядней, если условиться, что линии поля там гуще, где напряженность поля больше, т.е. плотность линий должна быть пропорциональна величине Е.

1.7 Однородное поле. Поверхностная плотность заряда.

Возьмем две одинаковые металлические пластины, расположим их параллельно друг другу. Если одной пластине сообщить заряд +q, а другой –q, то между ними возникнет ЭП.

Если расстояние между пластинами, по сравнению с их размерами, достаточно мало, то силовые линии между ними будут параллельными, а их плотность одинакова, т.е. напряженность поля в любой точке между пластинами величина постоянная.

(1.11)

ЭП, векторы напряженности во всех точках которого одинаковы, называют однородным.

В силу взаимного притяжения зарядов на пластинах, они расположатся на внутренних поверхностях пластин равномерно.

Величина , характеризующая равномерное распределение заряда, по поверхности, называется поверхностная плотность заряда. Она измеряется количеством электричества, приходящегося на единицу площади поверхности.

(1.12)

1.8 Работа, совершаемая силами ЭП при перемещении заряда, потенциальная энергия заряда.

Представим себе, что в точке В однородного ЭП помещен заряд q. Его нужно переместить в точку С и выяснить, какая работа при этом будет совершена.

Из механики:

(1.13)

Несложные выкладки (можно выполнить) показывают, что работа по перемещению заряда в однородном поле от В до С равна работе по перемещению его вдоль BD независимо от формы пути. А если этот путь замкнутый, то работа равна 0.

Можно доказать, что это справедливо и для неоднородного поля.

Работа сил по перемещению заряда между двумя точками ЭП не зависит от формы пути. А если этот путь замкнутый, то указанная работа равна 0.

Надо иметь ввиду, что эти утверждения справедливы только при условии, что при перемещении заряда не учитываются другие силы, не имеющие отношения к электрическому полю (например, силы трения). Т.е. рассматривается только механическое перемещение в электрическом поле (можно проиллюстрировать сказанное мифом о Сизифе).

Поле, в котором работа не зависит от формы пути, называется потенциальным.

В потенциальных полях работа служит мерой измерения потенциальной энергии. Если обозначить потенциальную энергию рассматриваемого заряда в точке В как Пв, а в точке С – Пс, то:

(1.14)

В общем случае, при перемещении заряда из точки 1 в точку 2, в которых он имел потенциальные энергии П1 и П2 имеем:

(1.15)

Где представляет собой приращение потенциальной энергии заряда при его перемещении из точки 1 в точку 2. Итак:

(1.16)

Из формулы ясно, что если заряд перемещается вдоль силовых линий поля, то его потенциальная энергия уменьшается, а если против силовых линий поля – увеличивается.

Из формулы (1.14) видно, что с помощью измерения работы, можно узнать только о величине изменения потенциальной энергии, а о величинах самих потенциальных энергий ничего узнать не возможно. Чтобы устранить эту неопределенность, можно принять за нуль потенциальную энергию любой, произвольно выбранной точки этого поля. Тогда потенциальная энергия любой другой точки, относительно нулевой точки, будет иметь вполне определенную величину.

Условились потенциальную энергию заряда, находящегося бесконечно далеко от заряда, создающего поле, принимать за нуль.

(1.17)

Тогда при перемещении заряда из точки В в бесконечность:

(1.18)

Т.е потенциальная энергия заряда, находящегося в какой-либо точке поля, будет численно равна работе, совершаемой силами поля по перемещению этого заряда в бесконечность.

В электротехнике за нуль принимается потенциальная энергия заряда, находящегося на земле.

1.9 Потенциал. Разность потенциалов. Напряжение.

По закону Кулона сила, действующая на заряд пропорциональна величине этого заряда, а работа по перемещению заряда пропорциональна этой силе. Следовательно, работа пропорциональна заряду. В то же время работа по перемещению заряда в бесконечность равна потенциальной энергии. Получается:

(1.19)

Коэффициент пропорциональности, в этой формуле, величина постоянная для данной точки, и может служить энергетической характеристикой поля в этой точке.

Энергетическая характеристика поля в данной точке называется потенциалом поля в этой точке. Потенциал измеряется потенциальной энергией единичного положительного заряда, находящегося в заданной точке поля:

(1.20)

Если переписать формулу (1.15) с учетом формулы (1.19) получим:

(1.21)

это можно записать и так:

(1.22)

где выражение в скобках называется разностью потенциалов или напряжением между точками 1 и 2. Опустив все индексы, получим:

(1.23)

Работа сил поля при перемещении заряда q между двумя точками поля прямо пропорциональна напряжению между этими точками.

В системе СИ напряжение измеряется в Вольтах. (1 Дж/Кл)

В электротехнике заряды всегда перемещается между двумя точками, поэтому важнее знать напряжение между двумя точками, а не их потенциалы.

1.10 Проводник в электрическом поле.

Проводники отличаются от других материалов наличием в них большого количества свободных электронов. Электроны движутся в проводниках хаотически. Однако, если проводник поместить в электрическое поле, то тут же электроны приобретают упорядоченное направленное движение.

В результате на одном конце проводника образуется избыток отрицательных зарядов, на другом – положительных. Сразу, между ними возникает внутреннее электрическое поле, направленное против внешнего. На отдельно взятый заряд начинают действовать две силы. Вначале сила F₁, больше силы F₂. Однако, когда на концах проводника накопится достаточно зарядов (количество этих зарядов ничтожно мало, по сравнению с их общим количеством в проводнике), силы уравновесятся. Т.е. внутреннее поле скомпенсирует внешнее. При этом оставшиеся электроны утратят упорядоченное движение и будут вести себя так, как будто никакого внешнего поля нет.

1.11 Электрический ток

Теперь представим себе, что нам каким-то образом удалось с концов проводника «откачивать» излишек зарядов и перемещать в противоположные концы. Тогда упорядоченное движение зарядов в проводнике не будет прекращаться, возникнет электрический ток.

Электрический ток, или ток проводимости – это направленное движение свободных заряженных частиц под действием сил электрического поля.

При движении в вакууме свободные носители зарядов не встречают никакого сопротивления. Когда они движутся в веществе, то они взаимодействуют с другими зарядами и частицами этого вещества. Например, электроны в металле сталкиваются с ионами кристаллической решетки и теряют кинетическую энергию, сообщенную полем. При этом увеличивается интенсивность хаотического движения ионов вещества, а следовательно увеличивается внутренняя энергия вещества. Это проявляется, в частности, в увеличении температуры – вещество нагревается.

Если в проводнике течет электрический ток, то через сечение проводника S, проходят подвижные носители зарядов, подобно тому, как на автостраде, мимо наблюдателя, проезжают автомобили. Чем больше этих зарядов за единицу времени проходит через сечение проводника, тем больше сила тока.

(1.24)

Силу тока в проводнике измеряют количеством электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за единицу времени.

1.12 Диэлектрик в электрическом поле. Поляризация диэлектрика. Пробой диэлектрика.

Выясним, что происходит с диэлектриком в однородном электрическом поле. Мы помним, что диэлектрики – это химические элементы, у которых количество валентных электронов от 5 до 8. В них почти нет свободных носителей зарядов. Все электрические заряды находятся в атомах и молекулах и могут смещаться на очень малые расстояния – в пределах атома или молекулы. Выясним механизм этого явления.

Нам уже известно, что диэлектрик ослабляет силу взаимодействия зарядов, т.е ослабляет электрическое поле (вспомним диэлектрическую проницаемость). Следовательно, внутри диэлектрика должно появляться внутреннее электрическое поле, направленное против внешнего поля.

Вспомним атом. В центре массивное ядро с положительным зарядом, вокруг которого один или несколько сферических слоев электронов. Когда внешнего поля нет, центры зарядов ядра и электронных слоев совпадают. Атом электрически нейтрален.

Когда появляется внешнее ЭП, электронные слои - как более легкие - смещаются на какое-то расстояние, но не отрываются от атома. Между центом ядра и центром электронных слоев возникает, хоть и небольшое, но все же, расстояние. Смещение электронных слоев в атоме под действием электрического поля называется поляризацией. В результате поляризации атом становиться диполем, т.е обладателем двух полюсов – положительного и отрицательного.

Чем больше напряженность внешнего электрического поля, тем больше расстояние между центрами положительных и отрицательных зарядов. Аналогичным образом, диполями становятся и молекулы диэлектрика.

Все диполи в диэлектрике, под действием электрического поля сориентируются вдоль линий напряженности. Таким образом, один конец диэлектрика окажется положительно заряженным, другой – отрицательно заряженным. Произойдет поляризация не только атомов и молекул, но и всего куска диэлектрика – этакий большой диполь.

Ну, и как положено, между разноименно заряженными концами диэлектрика, возникнет внутреннее поле диэлектрика.

Поле внутри диэлектрика, созданное диполями направлено против внешнего поля, но полностью не компенсирует его, а только ослабляет.

(Вспомнить, что происходит в этом смысле в проводнике, вспомнить диэлектрическую проницаемость среды).

Отметим, что при достаточно большом значении напряженности внешнего поля, диполи в диэлектрике разрываются, появляются свободные электрические заряды – а наличие свободных электрических зарядов - это свойство проводников. Когда эти свободные заряды начинают двигаться направленно, происходит механическое разрушение диэлектрика. Такое явление называется пробоем диэлектрика.

1.13 Замкнутая электрическая цепь. Электродвижущая сила.

Если поместить проводник в однородное электрическое поле, в нем возникнет кратковременный ток, в тот момент, когда свободные заряды устремляются к концам проводника. Это произойдет за доли секунды. Напряженность возникшего внутреннего поля скомпенсирует внешнее поле, направленное движение зарядов прекратится, тока не будет.

Для нас важно, чтобы ток постоянно циркулировал и совершал работу.

Представим себе горнолыжный курорт. Небо ослепительной голубизны. Снег ослепительной белизны. Любители горных лыж, в ярких спортивных костюмах, друг за другом скатываются по трассе – бездельники.

Теперь представим, что руководство курорта решило использовать кинетическую энергию скатывающегося горнолыжника, чтобы от них хоть какая –то польза была. На отдельных участках расы расставила рычажки, которые горнолыжник, по пути, вынужден задевать. Система связанных каким либо образом рычажков приводит в движение механизм насоса, подающего воду в к зданиям курорта.

Но как только все горнолыжники съедут с горы, ясное дело, насос прекратит свое действие. Нужно чтобы первый спустившийся горнолыжник вновь оказался на вершине горы до того, как вниз устремиться последний горнолыжник. Для этого служит подъемник. Поднимая горнолыжника наверх, он увеличивает его потенциальную энергию, которая превратится в кинетическую энергию съезжающего лыжника и т.д. Т.о подъемник создает «круговорот горнолыжников в природе», а водяной насос постоянно работает.

То же самое можно сделать с электронами в проводнике, т.е. создать замкнутую электрическую цепь. В определенной точке этой цепи подключается устройство, которое насильственным образом перемещает заряды в начальную точку их движения.

Посмотрим на рисунок. А и В – заряженные проводники. Если их соединить проводником АСВ, то положительные заряды под действием силы ЭП придут в движение. Однако движение это будет недолгим. Чтобы движение зарядов было достаточно долгим, нужно переносить «подбегающие» положительные заряды из точки В в точку А, например по проводнику ВDА. Но самопроизвольно такое произойти не может. На заряды в этом проводнике так же действует сила ЭП. Следовательно, к этим зарядам нужно приложить другую, стороннюю силу, бОльшую по значению и противоположную по направлению.

В этом случае, в замкнутой цепи будет непрерывно циркулировать электрический ток, а потенциалы проводников А и В не смогут выровняться.

Т.о. на участке ВDА электрическая энергия получается за счет других видов энергии. А на участке АСВ, наоборот, электрическая энергия будет превращаться в другие виды энергии.

Участок на котором заряды движутся против силы ЭП называется источником электрической энергии. Участок, на котором заряды движутся в направлении силы ЭП, называется потребителем электрической энергии.

В электротехнике источники электрической энергии называются генераторами. Те из них, в которых химическая энергия превращается в электрическую, называются гальваническими элементами (попросту батарейками) или аккумуляторами (в автомобилях).

Величину, характеризующую зависимость электрической энергии, приобретенной зарядом в генераторе (неважно как) называют электродвижущей силой или ЭДС. ЭДС генератора измеряют работой сторонних сил, выполненной при перемещении единичного положительного заряда:

(1.25)

не путать обозначение ЭДС с обозначением напряженности ЭП.

Единицей измерения ЭДС является Вольт (В) – в системе СИ.

Таким образом, мы выяснили, что замкнутая электрическая цепь имеет две существенно различные части. Внутренняя часть – участок цепи, в которой заряды движутся против силы ЭП, в сторону сторонних сил. Внешняя часть – это участок цепи, в которой заряды движутся по направлению ЭП. Иначе говоря, внутренней частью цепи является генератор – источник электрической энергии, внешней частью – все остальное.

Точки, в которых внутренняя часть электрической цепи граничит с внешней называются полюсами – А и В на рисунке. От полюса А к полюсу В ток возникает под действием разности потенциалов. В проводнике АСВ от точки к точке по ходу тока, потенциал уменьшается. Получается, что у одного из полюсов наибольший потенциал, а у другого наименьший – по отношению к другим участкам цепи. Полюс с наибольшим потенциалом – положительный «+», полюс с наименьшим потенциалом - отрицательный «-».

При рассмотрении различных электрических цепей картинки, не рисуют – используют условные обозначения.

В теоретической электротехнике, где вид источника электроэнергии не имеет значения используются дополнительные обозначения

б

1.14 Вольтамперная характеристика. Закон Ома для участка цепи без ЭДС.

Когда по какому-либо участку цепи протекает ток, то между силой тока и напряжением на концах участка существует зависимость, которую называют вольт-амперной характеристикой.

Наглядным изображением в.а.х является график зависимости тока от напряжения. Эту зависимость впервые установил немецкий ученый Ом. Эту зависимость можно выразить формулой

(1.26)

В этой формуле коэффициент g зависит от того, из какого материала проводник сделан, от его размеров и температуры и называется проводимостью.

На практике чаще используют величину обратную проводимости

(1.27)

называемую сопротивлением и измеряемую в Омах. Тогда

(1.28)

Электрическое сопротивление, аналогично тому, как трение в механике создает противодействие движению тел, создает противодействие направленному движению зарядов и определяет превращение электрической энергии во внутреннюю энергию проводника. В результате проводник нагревается.

Омом называется сопротивление такого участка цепи без ЭДС, по которому течет ток в 1А, при напряжении на его концах в 1В.

Закономерность найденная Омом для металлических проводников называют законом Ома для участка цепи без ЭДС.

Сила тока на участке цепи без ЭДС прямопропорциональна напряжению на концах этого участка и обратнопропорциональна его сопротивлению.

1.15 Электроемкость проводника

Возьмем проводник, например, в форме шара, изолированный от земли, и не изменяя его положения относительно других проводников, будем электризовать его – можно прикоснуться заряженной эбонитовой или стеклянной палочкой. В этом случае, в точке прикосновения возникнет избыток зарядов, а значит возникнет внутреннее электрическое поле. Под действием этого поля заряд равномерно распределиться по поверхности шара (капля бензина по поверхности лужи), что приведет к исчезновению внутреннего поля. Установится равновесие зарядов.

Если проводник наэлектризован, устанавливается равновесие зарядов, поля внутри проводника нет, а потенциал всех точек проводника одинаков как внутри, так и на поверхности проводника.

При этом внешнее поле, конечно же существует, а силовые линии этого поля перпендикулярны поверхности этого проводника.

Опыт показывает, что заряд наэлектризованного проводника q прямопропорционален потенциалу проводника

(1.29)

Коэффициент пропорциональности С останется постоянным только в условиях описанного опыта. Если опыт повторить, изменив внешние условия, то коэффициент С будет иметь уже другое численное значение.

Величина С, характеризующая зависимость заряда наэлектризованного проводника от внешних условий, размеров и формы проводника – называют электроемкостью проводника. Электроемкость проводника измеряется количеством электричества, необходимого для повышения потенциала этого проводника на единицу.

Единица электроемкости:

Поскольку Кулон, а следовательно и Фарада очень большие величины, на практике электроемкость измеряют в мкФ (10^-6) и в пкФ (10^-12).

Заряды распределяются по внешней поверхности проводника. Поэтому ни материал проводника, ни его масса на его электроемкость не влияют. Влияют – форма и площадь проводника, а так же расположенные поблизости от него другие проводники и окружающая среда.

Возьмем два металлических диска А и Б. Проводник Б заземлим. Между проводником А и землей подключим вольтметр.

Наэлектризуем диск А сообщив ему заряд q, который будет в дальнейшем оставаться неизменным.

Заметив значение напряжения на вольтметре, начнем приближать диск Б к диску А, наблюдая за стрелкой прибора. Показание вольтметра будет уменьшаться. Зная, что заряд на диске А неизменен и, приняв во внимание формулу (1.29) можно заключить, что электроемкость системы дисков будет увеличиваться.

Если между дисками поместить диэлектрик, можно заметить еще большее увеличение электроемкости двух дисков.

Объяснение. Когда диск Б попадает в поле диска А - он электризуется и создает свое поле. Поскольку диск Б соединен с землей, то на нем останутся только заряды противоположные по знаку зарядам на диске А. Это усиливает поле диска Б которое снижает потенциал на диске А.

Когда мы вносим диэлектрик, то он поляризуется. Поляризационные заряды, расположенные вблизи поверхности диска А связывают часть его свободных зарядов. Значит плотность зарядов на диске А увеличивается, а это означает, что электроемкость системы дисков возрастает.

1.16 Конденсаторы

В электротехнике широко применяются конденсаторы – устройства служащие для накопления электрических зарядов и электрической энергии, электроемкость которых не зависит от внешних условий, т.е. имеет определенную величину.

Для того чтобы конденсатор выполнял свое предназначение при изменяющихся внешних условиях, он должен удерживать накопленные заряды в течение длительного времени.

Для получения определенной электроемкости, берутся два проводника, располагаются как можно ближе к друг другу, а между ними помещают диэлектрик. Проводники электризуются разноименно. Диэлектрик играет двоякую роль – увеличивает электроемкость, не дает зарядам нейтрализовать друг друга. Поэтому его электрическая прочность на «пробой» должна быть достаточно высокой.

Два проводника, накапливающие ЭЗ называют обкладками конденсатора.

Чтобы электроемкость сохранялась и не зависела от окружающей среды, ЭП должно быть сосредоточено между обкладками. Расстояние между ними д.б. намного меньше, чем их размеры. Для предохранения от механических воздействий конденсатор заключают в корпус.

Накопление зарядов на обкладках называют зарядкой. Количество зарядов, переходящих с одной обкладки на другую в процессе разрядки, называют его зарядом.

Этот заряд равен количеству электричества q на одной из обкладок конденсатора. Он прямопропорционален напряжению между обкладками конденсатора. Поэтому электроемкость конденсатора выражается формулой

(1.30)

Чтобы зарядить конденсатор, нужно соединить его обкладки с двумя полюсами генератора постоянного тока – аккумулятор. При изготовлении конденсатор рассчитывается на определенное рабочее напряжение. Если напряжение окажется больше, диэлектрик конденсатора будет пробит. Такой конденсатор к дальнейшему употреблению не пригоден.

Заключение по теме 1

Таким образом, мы вплотную подошли к изучению собственно электротехники. Вспомним, что такое электротехника и с чем его едят:

«Электротехника» - научная дисциплина, изучающая процессы и явления, связанные с практическим использованием электричества. В электротехнике изучаются процессы и их закономерности в электрических цепях.

По пути мы выяснили:

1 Что такое электричество:

Электричество, с точки зрения физики - совокупность явлений, обусловленных существованием, взаимодействием и движением электрических зарядов.

2 Разобрались, как устроено вещество и каким образом заряды взаимодействуют друг с другом (закон Кулона):

Сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорционально произведению их величин, обратно-пропорционально квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, соединяющий эти заряды.

3 Уяснили, что существует особый вид материи, называемый полем. А взаимодействие электрических зарядов происходит посредством электрического поля, создаваемого любым зарядом

4 Разобрались, что электрическое поля бывают однородными и неоднородными, характеризуются величиной напряженности:

Силовая характеристика точки электрического поля Е называется напряженностью электрического поля. Она измеряется силой, с которой ЭП действует на единичный положительный заряд, внесенный в данную точку поля.

Напряженность поля есть вектор, направление которого совпадает с направлением Кулоновской силы.

5. Определили, что при перемещении заряда в электрическом поле, совершается работа. И, поскольку электрическое поле потенциальное, у нее существует еще и энергетическая характеристика, называемой потенциалом. Для перемещения заряда нужна разность потенциалов или напряжение.

6. Поняли, что происходит в проводнике и в диэлектрике, когда они оказывается в электрическом поле и как заставить свободные заряды в проводнике непрерывно циркулировать в замкнутой цепи, совершая работу.

7. Поняли закон Ома для участка цепи без ЭДС.

Все понятия для изучения закономерностей, возникающих в электрических цепях, нам уже известны. Постигнув эти закономерности, мы будем способны выполнить расчеты цепей с заданными элементами цепей, или подобрать элементы цепей, для получения требуемых результатов.

2 Электрические цепи постоянного тока

2.1 Определение линейных и нелинейных электрических цепей.

Электрической цепью, называют совокупность соединенных друг с другом источников электрической энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток. Процессы в электрической цепи, характеризуются такими параметрами, как «ток», «напряжение», «ЭДС», «сопротивление» (проводимость), «индуктивность», «емкость».

Постоянным током называют ток неизменный во времени. Постоянный ток принято обозначать буквой I, ЭДС источника - Е, сопротивление – R, проводимость – g.

В международной системе СИ ток измеряют в амперах - А (Французский физик - один из основоположников электродинамики, открывший механическое взаимодействие токов и установивший закон этого взаимодействия). ЭДС, напряжение, потенциал - в вольтах В, сопротивление в Омах – Ом и проводимость в сименсах – См.

Изображение электрической цепи с помощью условных знаков называют электрической схемой.

Зависимость тока, протекающего в сопротивлении, от напряжения на этом сопротивлении принято называть вольтамперной характеристикой (в.а.х)

Если в.а.х – прямая линия, то сопротивление линейное, а электрические цепи с такими сопротивлениями – линейные электрические цепи. Сопротивления в.а.х которых не являются прямыми линиями – нелинейные сопротивления, а электрические цепи – нелинейные электрические цепи.

2.2 Источник ЭДС и источник тока.

Источник ЭДС – представляет собой идеализированный источник питания, напряжение на зажимах которого постоянно, не зависит от тока и равно ЭДС. Внутреннее сопротивление такого источника равно нулю.

Источник тока – представляет собой идеализированный источник питания, который создает ток, не зависящий от сопротивления цепи.

2.3 Законы Кирхгофа

Вначале познакомимся с двумя понятиями:

1 Узел электрической цепи – участок цепи, где электрически соединяются как минимум три ветви.

2 Ветвь – участок электрической цепи между двумя узлами.

Если электрическое сопротивление ветви равно нулю, то два узла на концах ветви имеют одинаковый потенциал, поэтому могут рассматриваться как один узел.

Если у нескольких ветвей два общих узла, то ветви называются соединенными параллельно.

Если в одной ветви имеются несколько участков с разными параметрами, то эти участки называются соединенными последовательно, а сами участки называются элементами электрической цепи.

Для расчета электрических цепей, наряду с законом Ома применяются два закона Кирхгофа, являющиеся следствием группы универсальных законов сохранения, действующих в природе.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрических цепей:

В ветвях, образующих узел электрической цепи, алгебраическая сумма токов равна нулю.

(2.1)

В эту сумму входят токи с разными знаками, в зависимости от их направления по отношению к узлу.

I1 – I2 – I3 + I4 = 0

Иначе: I1 + I4 = I2 + I3

Что позволяет нам сформулировать 1 закон Кирхгофа по другому:

Сумма токов, направленных к узлу электрической цепи, равна сумме токов, направленных от того же узла.

Этот закон вытекает из закона сохранения электрического заряда и соответствует принципу непрерывности электрического тока.

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрических цепей:

В контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на его ветвях равна нулю

(2.2)

Контур А: I1R1 + I3R3 – E = 0

Контур В: I3R3 – I2R2 = 0

Контур С: - I2R2 – I1R1 + E = 0

В контурах А и С присутствуют ЭДС. Можно переписать:

Для контура А: I1R1 + I3R3 = E

Для контура С: Е = I2R2 + I1R1

Поэтому вторая формулировка:

В контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжения в пассивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС этого контура.

(2.3)

Непосредственной основой 2 закона Кирхгофа является закон сохранения энергии.

Число узлов у = 4; Число ветвей в = 7;

Студент составляет уравнения по 1 закону Кирхгофа – 4;

Убеждаемся, что одно уравнение лишнее

Делаем вывод – количество независимых уравнений у - 1;

Другой студент составляет 5 уравнений по 2 закону Кирхгофа

Убеждаемся. Что пятое, и тем более 6 … 8 лишние

Делаем вывод – количество независимых уравнений в – у + 1.

2.3 Неразветвленная электрическая цепь

Элементы неразветвленной электрической цепи соединены между собой последовательно.

Отличительной особенностью последовательного соединения является то, что электрический ток во всех участках цепи один и тот же.

Рассмотрим общий случай последовательного соединения потребителей и источников электроэнергии, пренебрегая внутренними сопротивлениями источников. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа. Направление тока и направление обхода выбираем произвольно, например, по часовой стрелке.

IR1 + IR2 + IR3 = E1 – E2 + E3

Из уравнения ясно, что порядок расположения элементов в нашей схеме не имеет значения. Она могла бы, с тем же успехом, выглядеть так:

А можно было бы перейти к эквивалентной схеме:

Ток в цепи для всех трех схем:

, или

Другими словами:

Общее сопротивление неразветвленной цепи (в одной ветви) равно сумме сопротивлений ее участков.

R1 + R2 + R3 = R

Аналогично, любое число последовательно соединенных ЭДС можно заменить одной (эквивалентной) ЭДС.

E1 – E2+ E3 = E

Поскольку на схеме несколько ЭДС, направление тока нами выбрано произвольно, так же как и направление обхода - в реальной задаче, после подстановки значений ЭДС и сопротивлений, ток может получиться отрицательным. Это будет означать, что мы не угадали направление тока, хотя его величина будет подсчитана верно. Для полноты картины, полученной в результате расчетов, нужно будет только поменять стрелки токов в противоположное направление – и задача будет решена полностью.

На схеме при переходе от точки 1 к точке 2 потенциал повышается на величину Е1, а при переходе от точки 2 к точке 3 снижается на величину U23 = IR1. При переходе от точки 3 к точке 4 потенциал понижается на величину U34 = -E2. И так далее.

Интересно изобразить изменение потенциалов от точки к точке графически. Если мы это сделаем, получим потенциальную диаграмму.

Потенциальная диаграмма представляет собой график изменения потенциала при обходе цепи, построенной в декартовой системе координат, в которой по оси абсцисс откладываются в определенном масштабе сопротивления участков цепи, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек.

Для нашей схемы потенциальная диаграмма будет выглядеть так:

Так как внутренние сопротивления ЭДС приняты равными нулю, то на этих элементах схемы потенциалы меняются скачками.

2.4 Баланс мощностей

Продолжим рассматривать нашу схему из подраздела 2.3. У нас получилось:

IR1 + IR2 + IR3 = E1 – E2 + E3

Перенесем Е₂ в левую часть уравнения и умножим обе части уравнения на I. Получим:

E2I + I²R1 + I²R2 + I²R3 = IE1 + IE3 (2.4)

Разберемся с произведением Тока и ЭДС. Мы знаем:

Тогда:

(2.5)

Мы так же знаем:

Таким образом:

(2.6)

Из механики известно, что если Работу разделить на Время, за которую она выполнена, получим Мощность.

Раз IE – это мощность, значит и произведение I²R тоже мощность. А уравнение 2.4 – уравнение баланса мощностей для рассматриваемой схемы.

Баланс мощностей – сумма мощностей источников электрической энергии равна сумме мощностей приемников электрической энергии/

Решение задачи.

Генератор с ЭДС Е₁=100 В и аккумуляторы с ЭДС Е₂=130В и Е₃=90 В включены как показано на схеме. Сопротивление потребителей: R₁=16 Ом; R₂=12 Ом; R₃=4 Ом; R₄=8 Ом, а внутренние сопротивления источников: r₁=6 Ом; r₂=9 Ом; r₃=5 Ом.

Определить ток в цепи, построить потенциальную диаграмму цепи, составить и проверить баланс мощностей.

Задачу решают: студент 1 – определяет ток в цепи, и составляет баланс мощностей; студент 2 – строит потенциальную диаграмму на доске.

Самостоятельная работа. Схема та же.

Генератор с ЭДС Е₁=150 В и аккумуляторы с ЭДС Е₂=50 В и Е₃=100 В включены как показано на схеме. Сопротивление потребителей: R₁=15 Ом; R₂=8 Ом; R₃=12 Ом; R₄=20 Ом, а внутренние сопротивления источников: r₁=6 Ом; r₂=8 Ом; r₃=10 Ом.

Вариант 1 Определить ток в цепи, построить потенциальную диаграмму цепи, приняв j₅ = 0; составить и проверить баланс мощностей.

Вариант 2 Определить ток в цепи, построить потенциальную диаграмму цепи, приняв j₇ = 0; составить и проверить баланс мощностей.

2.5 Режимы работы электрических цепей

Режим работы электрической цепи, т.е. ее электрическое состояние, определяется значениями токов, напряжений и мощностей ее отдельных элементов. Наиболее характерные режимы рассмотрим на примере простейшей схемы с переменным сопротивлением приемника электроэнергии.

1) Номинальный режим

Источники и приемники электроэнергии, провода и кабели, другие аппараты включенные в цепь – характеризуются номинальными значениями тока, напряжения, мощности и т.д., на которые эти устройства рассчитаны заводами изготовителями для нормальной работы. Номинальные величины обычно указываются в паспорте устройства и на его корпусе (лампа накаливания).

Режим работы, при котором действительные токи, напряжения, мощности элементов электрической цепи соответствуют их номинальным величинам, называют номинальным (нормальным) режимом.

Всякого рода отклонения от номинального режима нежелательны. А резкие отклонения от номинальных величин могут привести к выходу из строя электроцепей, приемников электроэнергии и источников электроэнергии.

Чаще всего, для обеспечения нормальных условий работы приемников электрической энергии достаточно соблюдать соответствие напряжений: действительное напряжение на вводных зажимах устройства должно быть равно его номинальному напряжению.

2) Рабочий режим

Параметры электрической цепи, по различным причинам, могут отличаться от номинальных.

Если в электроцепи действительные характеристики режима отличаются от номинальных величин, но отклонения находятся в допустимых пределах, то режим называется рабочим.

Применим к рассматриваемой схеме закон сохранения энергии, составив уравнение энергетического баланса:

Где: – энергия источника (или работа совершаемая источником);

– энергия потребляемая приемником.

По аналогии: – потери энергии в источнике (во внутреннем сопротивлении источника)

Тогда:

после сокращения на t получим уже знакомый нам баланс мощностей:

;

далее сокращаем на I и получаем баланс напряжений (2 закон Кирхгофа):

или ;

Ток в цепи: – это уже закон Ома.

Т.о, делаем вывод: второй закон Кирхгофа и закон Ома – основаны на более фундаментальном законе Природы – на законе сохранения энергии.

Внутреннее сопротивление источника (r)– можно характеризовать с двух сторон. С одной стороны – это расчетная величина, которая учитывается в схемах замещения. Причем происхождение этого сопротивления для расчетов схем неинтересно.

С другой стороны, внутреннее сопротивление источника обусловлено конкретными физическими явлениями внутри источника электроэнергии. Например, в электрогенераторе внутреннее сопротивление складывается из нескольких слагаемых, в том числе: сопротивление проводов обмоток якоря, сопротивления контактов и др.

3) Режимы холостого хода и короткого замыкания

При тока в цепи не будет. Этот случай соответствует размыканию цепи. Электрическая цепь будет находиться в режиме холостого хода. Интересно отметить, что в этом случае напряжение на полюсах источника будет равно его ЭДС: ;

При , а напряжение на зажимах источника и приемника равно нулю.

Режим электрической цепи, при котором накоротко замкнут (зашунтирован) участок с одним или несколькими элементами, в связи с чем напряжение на этом участке равно нулю, называется режимом короткого замыкания, а ток при этом режиме называется током короткого замыкания.

Ясно, что короткие замыкания в электрических цепях нежелательны, так как токи короткого замыкания в несколько раз превышают номинальные величины. При этом резко увеличивается выделение теплоты в токоведущих частях электрооборудования - возникают термические и динамические перегрузки, оборудование выходит из строя.

2.6 Сопротивление проводов

Реальные провода и жилы кабелей имеют вполне определенное сопротивление. Любой отрезок провода характеризуется длиной, сечением, материалом из которого он сделан и температурой. На практике длину проводов принято принимать в метрах, сечение проводов в кв. мм. Материал провода учитывается величиной, называемой удельным сопротивлением материала. Величина удельного сопротивления, приводимой в справочных таблицах Ом*мм2/м – это сопротивление провода сечением 1 кв.мм, длиной 1 м, при температуре 20 град.С

Зависимость сопротивления проводника от температуры определяется температурным коэффициентом сопротивления, измеряется в град.С^-1.

Сопротивление провода при температуре 20 град.С определяется по формуле:

; где- удельное сопротивление; l – длина провода; S – сечение провода.

Если нам нужно определить сопротивление проводника при другой, отличной от 20 град.С, температуре - нужно пользоваться формулой:

; где – продиктовать

Рассмотрим пример:

Определить сопротивление медного провода двухпроводной линии при температуре 20 град С, и 30 градС, если сечение провода 120 кв.мм, а длина линии 100 км.

Из справочной таблицы находим для меди при температуре 20 град.С: r ₂₀ = 0.0175 Ом*мм/м; a = 0,004 град.С^-1

Подставив значения в формулу (двойная длина) получим 29,16 Ом.

При температуре 30 град.С – после подстановки в соответствующую формулу: 30,32 Ом.

2.7 Схемы замещения

Для анализa реальных электрических цепей в электротехнике используют схемы замещения. На схеме замещения изображают все элементы, влиянием которых нельзя пренебречь и электрические соединения между ними.

2.8 Разветвленная электрическая цепь с двумя узлами

Разветвленная электрическая цепь – по определению, цепь состоящая из нескольких ветвей

Остановимся на цепях с двумя узлами. Между этими узлами могут оказаться несколько ветвей. Эти ветви будут параллельными.

Отличительной особенностью параллельного соединения является то, что ко всем ветвям приложено одно и то же напряжение

Составим уравнение токов для узла А по 1 закону Кирхгофа:

Токи в ветвях можно записать:

; ; ;

;

И для любого количества параллельных ветвей:

При параллельном соединении ветвей общая проводимость между двумя узлами равна сумме проводимостей всех ветвей.

Можно нарисовать эквивалентную схему первоначальной схемы:

Эквивалентное сопротивление при параллельном соединении нескольких ветвей находится из выражения:

В частности, для двух ветвей:

Ток в эквивалентной схеме равен току в неразветвленной части первоначальной схемы:

;

Целью расчета цепи является определение токов в каждой ветви.

По закону Ома определяем напряжение между точками А и Б:

;

Токи в ветвях:

; ;

Параллельное соединение источников энергии

На практике часто встречается параллельное включение источников электроэнергии, работающих совместно на один или несколько приемников. При этом нагрузка распределяется между источниками.

ЭДС представим в виде эквивалентных схем источников тока. Сопротивления заменим проводимостями.

Тогда

По первому закону Кирхгофа для А: I₁ + I₂ + I₃ = I

Или I_1K + I_2K + I_3K = I + I₀₁ + I₀₂ + I₀₃ = U(G + g₁ + g₂ + g₃)

Последнее равенство дает нам основание заменить три источника тока одним эквивалентным, а схему заменить более простой.

Эквивалентный источник характеризуется током короткого замыкания:

I_1K + I_2K + I_3K = I_К

И внутренней проводимостью g₁ + g₂ + g₃ = g

А так же I_К = I + Io = I + Ug;

Напряжение между узлами:

=;

Токи в ветвях можно определить по формулам:

I = UG =

Из последней системы уравнений следует, что источник с большей ЭДС и меньшим внутренним сопротивлением принимает большую нагрузку. Если все одинаково, нагрузка распределиться поровну.

Параллельное соединение источников применяется для увеличения общего тока, благодаря чему достигается увеличение мощности потребления энергии без изменения напряжения.

В общем случае для расчета электрических цепей с двумя узловыми точками, между которыми содержится любое количество параллельных ветвей с источниками и приемниками электроэнергии, в том числе и такие ветви, которые имеют несколько элементов, соединенных последовательно справедлива формула

;

Знак ЭДС устанавливается в соответствии с положительным направлением тока в ветвях, которое выбирается произвольно, но одинаково для всех ветвей

Решение задач

2.7 КПД источника электрической энергии

Когда мы рассматривали энергетический баланс в рабочем режиме электрической цепи, а так же баланс мощностей в неразветвленной электрической цепи, мы обнаружили

1 Источник электрической энергии должен отдавать в электрическую цепь ровно столько энергии, сколько ее потребляет электрический приемник.

2 Напряжение на зажимах источника электроэнергии равно падению напряжения в электрической цепи

3 Существует внутреннее сопротивление источника электроэнергии, обусловленное его конструктивными особенностями.

4 Часть энергии источника расходуется на преодоление внутреннего сопротивления.

Перечисленное иллюстрируется формулой

Е – Uo = U,

где Е – ЭДС источника, Uo – падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника, U – напряжение на зажимах источника.

Отношение называется КПД источника. Мы привыкли, что в науке и технике, когда говорят о КПД, речь идет о соотношениях мощностей. Это справедливо и для электротехники. Действительно, последнюю формулу можно представить виде:

– КПД источника равно отношению мощности приемника к мощности источника.

2.8 Расчет электрических цепей методом эквивалентных сопротивлений (метод свертывания цепи)

Метод эквивалентных сопротивлений применяется для расчета электрических цепей, в которых имеются пассивные элементы, соединенные между собой последовательно, параллельно или по смешанной схеме.

1) Определение эквивалентных сопротивлений

R₃ и R₄ включены последовательно. I₃ = I₄. Заменяем два сопротивления эквивалентным R₃ + R₄ = R₃₄ – получается более простая схема;

Сопротивления R₂ и R₃₄ соединены параллельно, их можно заменить одним эквивалентным:

получается более простая схема;

Сопротивления R₁, R₂₄, R₅ – соединены последовательно → R₁₅ = R₁+R₂₄+R₅ → получим простейшую схему

2) Определение токов

Ясно: I₅=I₁=I₂+I₃ = ;

Между точками 2 и 4: U₂₄ = I₁R₂₄ ;

;

Практическое занятие 2 учебных часа:

E = 160В; r = 0.5 Ом; R₁ = 2 Ом; R₂ = 30 Ом; R₃ = 12 Ом; R₄ = 8 Ом; R₅ = 1.5 Ом; R₆ = 20 Ом

Рассчитать токи в ветвях. Составить баланс мощностей.

Вариант 2 – методом эквивалентных сопротивлений.

Рассчитать токи в ветвях: Вариант 2 – из системы уравнений с применением 1 и 2 ЗК;

Вариант 1 – методом эквивалентных сопротивлений.

2.9 Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду

Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды, называют соединением звезда, а соединение трех сопротивлений так, что они образуют между собой стороны треугольника называют соединением треугольник.

В узлах 1, 2, 3 с потенциалами φ₁, φ₂, φ₃ треугольник и звезда соединяются с остальной частью схемы, не показанной на рисунках.

Очень часто при расчете электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или наоборот. Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды, подтекающие к этим точкам токи оставались одинаковыми, то внешняя схема «не заметит» произведенной замены. Выведем формулы преобразований. С этой целью выразим токи I₁, I₂, I₃ в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.

Для звезды: I₁ + I₂ + I₃ = 0 (1)

Однако I₁=(φ₁ – φ₀) g₁; I₂=(φ₂ – φ₀) g₂; I₃=(φ₃ – φ₀) g₃; (2)

Подставим значения токов в первое уравнение и получим:

φ₁ g₁ + φ₂ g₂ + φ₃ g₃ – φ₀(g₁ + g₂ + g₃) = 0 (3)

откуда:

(4)

Далее введем φ₀ в выражение (2) для тока I₁:

I₁=(φ₁ – φ₀) g₁ = (5)

Для треугольника:

I₁ = I₁₂ + I₃₁ = (φ₁ – φ₂) g₁₂ - (φ₃ – φ₁) g₁₃ =

=φ₁(g₁₂ + g₁₃) – φ₃ g₁₃ – φ₂ g₁₂; (6)

Т.к токи I₁ в схемах треугольника и звезды должны быть равными между собой при любых значениях потенциалов φ₁, φ₂, φ₃, то коэффициент при φ₂ в правой части уравнения (6) должен равняться коэффициенту при φ₂ в правой части уравнения (5). Следовательно:

; (7)

Анологично:

(8)

(9)

Формулы 7 … 9 дают возможность найти проводимости сторон треугольника через проводимости лучей звезды. Они имеют легко запоминающуюся структуру: индексы у проводимости в числителе правой части соответствуют индексам у проводимости в левой части. В знаменателе сумма проводимостей лучей звезды.

Решим обратную задачу – найдем сопротивления лучей звезды через сопротивления сторон треугольника. Если вспомнить, что проводимость – это обратная величина сопротивления:

(10)

Если принять R₁R₂+R₂R₃+R₃R₁ = m (11)

То уравнение 10 упостится до: (12)

Аналогично:

(13)

(14)

Подставив последние три уравнения в (11) получим:

(15)

Подставив последнее в (13) и решив уравнение относительно R₁, получим:

(16)

Аналогично:

(14)

(13)

Структура последних формул аналогична структуре (7 … 9)

Схема 1 Схема 2

Полезность преобразования треугольника в звезду можно пояснить на примере схемы 1

Решить задачу:

R₁₂ = 2 Ом R₁₃ = 3 Ом R₃₂ = 5 Ом

R₃ = 1,5 Ом R₄ = 1 Ом R₅ = 0,6 Ом

Е₁ = 20 В Е₂ = 25 В Е₃ = 30 B

Найти токи.

2.10 Метод контурных токов

Мы умеем составлять уравнения по 1 и 2 законам Кирхгофа для любой схемы. В принципе, если составить в - у+1 уравнений по второму закону Кирхгофа, у - 1 уравнений по первому закону Кирхгофа и решить полученную систему уравнений относительно токов, рассчитывается любая схема. Только количество этих уравнений может оказаться большим, а решение системы уравнений сложным.

Облегчает задачу метод контурных токов.

Вначале разберемся – что такое контурный ток. Это некоторая расчетная величина, которая одинакова для всех ветвей данного контура. Контурные токи обозначены на схеме I_I, I_II, I_III, I_{IV .}

Заметим что контурный ток равен действительному току ветви, если она принадлежит только данному контуру:

I₁ = I_I; I₃ = I_II; I₄ = I_III; I₆ = - I_IV

Некоторые ветви схем принадлежат сразу к двум смежным контурам – ветви a-c; c-f; d-f. Действительные токи в таких ветвях определяется наложением контурных токов, или равны алгебраическим суммам контурных токов, в которые эта ветвь входит.

I₂ = I_II – I_I; I₅ = I_III – I_IV; I₇ = I_II - I_III

Теперь запишем уравнения по 2 закону Кирхгофа для наших контуров (работу выполняет студент).

1) I₁R₁ – I₂R₂ = E₁

2) I₂R₂+I₃R₃+I₇R₇ = E₂

3) I₄R₄ + I₅R₅ – I₇R₇ = -E₂

4) I₅R₅ – I₆R₆ = -E₃

Подставим в полученные уравнения значения токов, выраженные через контурные токи (работу выполняет другой студент). Получим:

1) I_I(R₁ + R₂) – I_IIR₂ = E₁

2) I_II(R₂ + R₃ + R₇) – I_IR₂ – I_IIIR₇ = E₂

3) I_III(R₄ + R₅ + R₇) – I_IVR₅ – I_IIR₇ = -E₂

4) I_IV(R₅ + R₆) – I_IIIR₅ = -E₃

Сумма ЭДС входящих в контур, называется контурной ЭДС. В нашем случае, поскольку в каждый контур входит только по одной ЭДС:

E_I = E₁; E_II = E₂; E_III = -E₂; E_IV = -E₃

Аналогично определяются контурные сопротивления:

R_1.1 = R₁ + R₂; R_2.2 = R₂ + R₃ + R₇; R_3.3 = R₄ + R₅ + R₇; R_4.4 = R₅ + R₆

Сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур, называется собственным сопротивлением контура.

Часть сопротивлений принадлежит сразу двум контурам. Такими сопротивлениями являются

R_1.2 = R₂; R_2.3 = R₇; R_3.4 = R₅

Называются такие сопротивления общими сопротивлениями контуров.

С учетом новых понятий, перепишем уравнения 1 … 4:

1) I_I R_1.1 – I_II R_1.2 = E_I

2) I_II R_2.2 – I_I R_1.2 – I_III R_2.3 = E_II

3) I_III R_3.3 – I_IV R_3.4 – I_II R_2.3 = E_III

4) I_IV R_4.4 – I_III R_3.4 = E_IV

Остается решить систему уравнений и определить контурные токи. При известных контурных токах. Действительные токи вычисляются элементарно.

Итак, последовательность расчета схем методом контурных токов:

1 В заданной схеме выбирают направления токов в ветвях, произвольно

2 Намечают независимые контуры и выбирают направление контурных токов, например по часовой стрелке.

3 Записывают действительные токи в ветвях, выраженными через контурные токи

4 Определяют контурные ЭДС

5 Определяют контурные сопротивления

6 Определяют общие сопротивления контуров

7 Записывают уравнения 2ЗК для выбранных контуров и заменяют значения токов, сопротивлений, ЭДС выражениями, составленными в предыдущих пунктах

8 Решается система уравнений

9 Определяются действительные токи.

Решение задачи – самостоятельная работа.

R = 27 Ом; r = 1 Ом; Е₁ = 120 В; Е₂ = 140 В

Дата добавления: 2014-01-04