Энергия связи ядра

Ядро представляет систему связанных между собой нуклонов. Возникновение связанного состояния возможно только под действием ядерных сил притяжения, удерживающих нуклоны в ограниченном объеме. Устойчивость связанного состояния обеспечивается тем, что ядро как система из взаимодействующих между собой нуклонов должна иметь минимум полной энергии. Полная энергия Е ₁ системы из А нуклонов до объединения в ядро, т.е. находящихся между собой на таких расстояниях, когда действием сил между ними можно пренебречь, будет равна (массы выражены в единицах энергии)

(1.4.1)

где m _i – массы нуклонов, из которых образовано ядро.

После объединения нуклонов в ядро массой М полная энергия составит

(1.4.2)

а изменение энергии системы будет равно

(1.4.3)

Работа сил притяжения вызывает переход системы в состояние с меньшей энергией, поэтому величина Δ Е < 0 будет равна той энергии, которая выделяется при образовании ядра и передается в окружающее пространство. Наоборот, чтобы разрушить ядро и удалить нуклоны на такие расстояния, где их можно считать свободными, потребуется затратить энергию |Δ Е |. Величина

(1.4.4)

называется полной энергией связи ядра. Последнее соотношение справедливо в любой инерциальной системе отсчета. Для устойчивого ядра полная энергия связи положительна и равна той энергии, которую надо затратить, чтобы разделить ядро на все составляющие его нуклоны.

Ядро, как и любое материальное тело с массой покоя М ₀ не равной нулю, имеет замечательную точку, которая называется центром инерции ядра. Система координат, начало которой находится в точке центра инерции, называется системой центра инерции (СЦИ, см.§4.5). В СЦИ полная энергия E системы нуклонов, связанных в ядро массой М ₀, будет равна, согласно (1.3.3),

,

(1.4.5)

где М ₀ – масса покоя образующегося ядра в единицах энергии.

Полная энергия отдельного нуклона в СЦИ, совершающего движение в пределах ядра, равна сумме массы покоя нуклона m_{0 i} и его кинетической энергии Т_i:

.

(1.4.6)

Полная энергия системы взаимодействующих нуклонов равна

(1.4.7)

где через U обозначена суммарная потенциальная энергия нуклонов в ядре. Из трех последних формул получаем

(1.4.8)

Из определения энергии связи (1.4.4) и формулы (1.10) имеем

.

(1.4.9)

Сила взаимодействия F_i отдельного нуклона с полем центральных сил, создаваемых остальными нуклонами, и его потенциальная энергия U_i в этом поле связаны соотношением:

(1.4.10)

где r – расстояние нуклона от центра инерции ядра. Поскольку на отдельный нуклон в составе ядра со стороны остальных нуклонов действует сила притяжения, то проекция вектора силы на ось r будет отрицательна. Так как при r → ∞ потенциальная энергия нуклона U_i → 0, а величина dU_i/dr в (1.4.10) должна быть больше нуля, то из этого следует, что U_i < 0 (см. рис.1.4.1), т.е. нуклон находится в потенциальной яме. В точке R нуклон захватывается поверхностным слоем ядра, и его потенциальная энергия внутри ядра не меняется. Следовательно, внутри ядра на нуклон не действуют ядерные силы. Суммарная потенциальная энергия U всех нуклонов будет, очевидно, так же отрицательна. Если в (1.4.9) U < 0, а | U | > , то D W > 0 и ядро устойчиво. Если же | U | < , то D W < 0 и нуклоны ядра будут разлетаться подобно свободным частицам.

Таким образом, масса ядра и его устойчивость определяются тем, насколько величина энергии притяжения между нуклонами превышает суммарную кинетическую энергией движения нуклонов в ядре.

Выражая массу протона и нейтрона в энергетических единицах, применим определение (1.4.4) к ядру (A,Z):

(1.4.11)

Эта же величина, выраженная в массовых единицах, называется дефектом массы ядра. Следует отметить принципиальное различие между понятиями декремента массы атома (1.3.2) и дефектом массы ядра. Например, для атома ¹²С декремент массы равен нулю по определению, а дефект массы ядра составляет 0,098940 а.е.м., или 92,1628 МэВ.

Формула (1.4.11) неудобна для практических расчетов, поскольку, как отмечено выше, экспериментально измеряемой величиной является масса атома M_ат (A,Z), которая обычно приводится в справочных таблицах. Прибавляя к правой части выражения (1.4.11) и вычитая Z m_e, получим, что

(1.4.12)

с точностью до энергии связи атомных электронов с ядром (см. (1.3.4)). Если использовать атомные массы, то выражение (1.4.12) будет иметь вид

,

(1.4.13)

если энергию связи выражать в единицах Мэв. Выразим в (1.4.13) атомные массы через декременты масс, используя (1.3.2):

(1.4.14)

Последнее выражение показывает, что полная энергия связи ядра обусловлена относительными величинами, значения которых много меньше единицы, и как важно понятия декремента масс атома в ядерной физике. В настоящее время эта важнейшая характеристика определена из прецизионных масс-спектрометрических измерений атомных масс практически для всех известных нуклидов.

Величина D W меняется от единиц и десятков МэВ для легких ядер и до более чем 1 ГэВ - для тяжелых:

Ядро	D W (МэВ)	Ядро	D W (МэВ)
^2H ^12C ^16O	2,2 92,2 127,6	^131Xe ^208Pb ^238U	1103,5 1636,5 1801,7

Как характеристика интенсивности связи нуклонов в ядре полная энергия связи неудобна, поскольку она увеличивается с ростом числа нуклонов в ядре. Для этой цели больше подходит удельная (или средняя) энергия связи нуклона в ядре (A,Z), т.е. полная энергия связи, отнесенная к одному нуклону:

(1.4.15)

которая служит мерой прочности ядра

На рис.1.4.2 показана зависимость удельной энергии связи от массового числа А, рассчитанная по формуле (1.4.15) для ядер изобар, лежащих на дорожке стабильности. Анализ хода кривой позволяет установить некоторые характеристики взаимодействия между нуклонами в ядре.

1.Удельная энергия связи быстро возрастает при малых А, и уже для ядер с А > 12 имеет примерно постоянное значение, близкое к 8 МэВ / нуклон, т.е. Δ W ≈ Приближенная независимость от А свидетельствует о свойстве насыщения ядерных сил, которое выражается в том, что каждый нуклон в ядре может взаимодействовать только с ограниченным числом (очевидно соседних) нуклонов и с ростом числа возможных партнеров по взаимодействию перестает «замечать» остальных. Другими словами, у каждого нуклона имеется ограниченное число возможных связей. Свойство насыщения тесно связано с короткодействием ядерных сил (§1.9 п.2), и указывают на то, что ядерные силы имеют радиус действия порядка среднего расстояния между нуклонами в ядре.

Если бы насыщения не было, то каждый из А нуклонов в ядре мог бы взаимодействовать со всеми остальными нуклонами (как это имеет место для кулоновского или гравитационного взаимодействия), и вместо линейной зависимости Δ W ≈ , была бы зависимость , так как каждый их нуклонов в этом случае мог бы взаимодействовать со всеми оставшимися (А–1) нуклонами, а всего таких пар А.

Насыщение ядерных сил препятствует стягиванию ядра при накоплении числа нуклонов, и объемы ядер оказываются пропорциональными числу нуклонов в ядре, что свидетельствует о приблизительно постоянной плотности ядерного вещества.

2. Максимум удельной энергии связи приходится на ядра с массовыми числами 55 ÷ 60 и спадает к обоим краям кривой.

Резкое уменьшение (А) в области малых А объясняется поверхностными эффектами. Нуклоны у поверхности ядра не полностью насыщают все свои возможные связи. Этот эффект уменьшает полную энергию связи на величину, пропорциональную числу нуклонов в поверхностном слое. Роль поверхностных эффектов возрастает с увеличением отношения поверхности к объему, т.е. при переходе к легким ядрам.

На этом участке кривой (А) наблюдаются резкие «пики», отвечающие ядрам ⁴H, ¹²C, ¹⁶O, которые указывают на кластерную структуру этих ядер. Для этих ядер энергетически выгодным оказывается объединение нуклонов в α-частичные кластеры (2p+2n).

Справа от максимума величина плавно уменьшается, достигая для самого тяжелого природного элемента - урана – значения 7,5 Мэв/нуклон. Это уменьшение объясняется электрическим отталкиванием протонов. Поскольку кулоновские силы не обладают свойством насыщения, то при переходе к тяжелым ядрам удельная энергия связи убывает из-за роста электростатической энергии взаимного расталкивания протонов, величина которой пропорциональна Z². В ядрах с малым числом протонов она незначительна, но существенно влияет на прочность ядер в области тяжелых ядер.

Из наличия максимума у зависимости (А) следует важный вывод о двух энергетически выгодных процессах: 1) для наиболее тяжелых ядер возможен процесс деления на два более легких; 2) нескольким легчайшим ядрам, наоборот, энергетически выгодно сливаться друг с другом в более тяжелые ядра (синтез ядер). Оба процесса протекают с выделением большого количества энергии в форме кинетической энергии продуктов реакции.

3. Энергия связи одного присоединяемого или отделяемого от ядра нуклона может зависеть от четности числа имеющихся в составе ядра протонов и нейтронов. Детальный анализ удельной энергии связи как функции А и Z позволил сделать заключение о наибольшей устойчивости ядер с четным числом протонов и нейтронов (т.н. четно-четные ядра). Эти ядра имеют удельную энергию связи, примерно на 1 Мэв большую, чем соседние ядра, у которых либо N, либо Z - нечетные (Ч‑Н и Н-Ч ядра) и, как отмечалось в п.7 §1.1, имеют наибольшую распространенность в природе. Этот факт свидетельствует о том, что объединение внутри ядра одноименных нуклонов в пары (эффект спаривания) обусловлен действием между ними добавочным ядерных сил и является энергетически выгодным процессом, увеличивающим удельную энергию связи приблизительно на 1 Мэв. Промежуточное положение по величине удельной энергии связи и распространенности в природе занимают четно-нечетные и нечетно-четные ядра, количества которых равны. Наименьшие значение удельной энергии связи и количества стабильных нуклидов (четыре) имеют нечетно-нечетные ядра.

Заслуживает внимания особо высокие значения удельной энергии связи, даже на фоне четно-четных ядер, для ядер с содержанием нейтронов и (или) протонов, равным 2, 8, 20, 50, 82, 126 (только для нейтронов). Эти числа (и соответствующие ядра) получили название магических. Элементы с магическими ядрами имеют большую распространенность в природе. Например, олово, атомный номер которого Z = 50, имеет 10 стабильных изотопов. Наблюдается наибольшее число стабильных изотонов для N = 82. Особенно устойчивыми являются дважды магические ядра, у которых и число нейтронов, и число протонов равно одному из магических чисел, например, , , , .

Энергии удельной связи нуклонов в ядре примерно в миллион раз превышает энергию связи валентных электронов в атоме, равную ~ 10 эВ для большинства атомов. Поэтому энергия, выделяющаяся в ядерных реакциях, примерно в миллион раз превышает энергию химических реакций, что и определяет практическое значение использования ядерных реакций в качестве источника энергии.

Общее правило (1.4.4) дает возможность рассчитать энергию связи в ядре любого из нуклонов или группы связанных нуклонов.

Например, средняя энергия связи для нейтрона равна:

(1.4.16)

для протона:

(1.4.17)

Эти величины положительны для всех ядер, не испытывающих радиоактивного распада с испусканием отдельных нуклонов (нуклоностабильные ядра), а равенствоихнулю дает границы области существования таких ядер, обозначенные приближенно на рис. 1.1.2. Как следует из (1.4.4), (1.4.16) и (1.4.17) величины не равны друг другу.

Например, энергия связи a - частицы с ядром урана ²³⁸U отрицательна:

= - 4,2 МэВ,

(1.4.18)

что свидетельствует о нестабильность ядра урана относительно a - распада.

Дата добавления: 2014-01-04