Розповсюдження тепла

Лекція 6

Контрольні запитання

5.1 У чому полягає постановка для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня?

5.2 У чому полягає суть методу Фур’є для розв’язування задач про поздовжні коливання стержня?

5.3 У чому особливість методу Фур’є стосовно вимог до крайових умов?

6.1 Задача про розповсюдження тепла. Рівняння теплопровідності

Розглянемо задачу про розповсюдження тепла в нерівномірно нагрітому тілі V, обмеженому поверхнею S. У цьому випадку виникають теплові потоки від ділянок з вищою температурою до ділянок з нижчою. Тобто відбувається перерозподіл тепла.

За величину, що характеризує даний процес, візьмемо функцію , яка визначає температуру в будь-якій точці M (x,y,z) у будь-який момент часу t.

При побудові математичної моделі зробимо наступні припущення стосовно фізичних властивостей тіла:

1) тіло однорідне;

2) ізотропне;

3) у тілі відбувається механічний перенос тепла від більш нагрітих ділянок до менш нагрітих;

4) усе тепло йде на зміну температури тіла;

5) властивості тіла від температури не залежать.

Щоб вивести рівняння теплопровідності достатньо скласти рівняння теплового балансу, яке запишемо так:

(6.1)

Визначимо всі складові цього рівняння.

1) – це кількість тепла, що проходить через поверхню за деякий час ∆t. Для визначення скористаємося експериментальним законом Фур’є, згідно з яким елементарна кількість тепла , що проходить через елементарну частину поверхні у напрямку внутрішньої нормалі до неї за одиницю часу, дорівнюватиме де k – коефіцієнт внутрішньої теплопровідності, k > 0, розмірність .

Вважаємо, що коефіцієнт k не залежить від напряму нормалі. Щоб визначити всю кількість тепла, що проходить через поверхню за час ∆t, достатньо вираз, що визначає елементарну кількість тепла , проінтегрувати по цій поверхні і домножити на ∆t:

Нехай вектортоді

Тоді

використовуючи формулу Остроградського по відношенню до вибраного елемента ω з внутрішньою нормаллю до поверхні , маємо

.

Звідси

. (6.2)

2) – це кількість тепла, що виділяється (поглинається) джерелами (якщо вони є), розподіленими в об’ємі ω за деяким законом. Позначимо через f (M, t) питому потужність джерела в точці M (x,y,z) у момент часу t (аналог інтенсивності зовнішніх сил в задачах на коливання). Тоді елементарна кількість тепла за одиницю часу буде

Вся кількість тепла за час ∆ t:

. (6.3)

3) – уся кількість тепла, що йде на зміну температури в будь якій точці М за деякий час ∆ t, може бути визначена за законом Ньютона, згідно якого елементарна кількість тепла прямо пропорційна зміні температури ∆U за час ∆t і масі елементарної частини ρ d ω та дорівнюватиме де С – питома теплоємність матеріалу тіла, розмірність ; ρ – густина.

Звідси

. (6.4)

враховуючи рівності (6.1) – (6.4), запишемо рівняння теплового балансу

Або

(6.5)

Згідно з основною лемою математичної фізики, якщо підінтегральна функція неперервна та інтеграл по довільній області ω дорівнює нулю, то і сама функція також дорівнює нулю. Отже,

.

Поділимо на C ρ ∆t і перейдемо до границі при

.

Або

де

; .

Якщо врахувати, що

.

то отримаємо

. (6.6)

Це тривимірна модель розповсюдження тепла у тілі , або просторове рівняння теплопровідності. тут М – точка M (x,y,z).

Очевидно, що двовимірна модель буде мати вигляд:

(6.7)

яка описує розповсюдження тепла в дуже тонкій (плоскій) пластині . Тут М – точка M (x,y).

І одновимірна модель:

(6.8)

Це рівняння теплопровідності для прямолінійного тонкого стержня (один характерний розмір – довжина). Тут М – точка з однією координатою . Саме з цим рівнянням ми і будемо далі працювати. Зауважимо, що в силу зроблених нами припущень величини сталі. Також вважаємо, що бічна поверхня стержня теплоізольована.

Проаналізуємо рівняння теплопровідності (6.8):

; .

Тут x – просторова координата, t – час, U (x,t) – температура в точці з координатою х в момент часу t.

Якщо зафіксувати , то отримаємо – закон, за яким змінюється температура в точці , якщо зафіксувати час ,то отримаємо – розподіл температур у стержні в момент часу .

Вільний член F (x,t) характеризує наявність джерел тепла в стержні. Якщо їх нема, то F (x,t) = 0 і рівняння теплопровідності набуває простого вигляду

(6.9)

Дата добавления: 2014-01-04