КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
Задача Неймана
задача Неймана (друга крайова задача)формулюється так: знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої поверхні рівняння Лапласа та її похідна по напрямку зовнішньої нормалі К.У. (6.41) Нагадуємо, що похідна пов’язана з потоком тепла через поверхню . Аналогічно формулюється задача Неймана для двовимірного 6.7 Мішана задача Мішана задача (третя крайова задача) формулюється так: знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої поверхні рівняння Лапласа, а у кожній точці М поверхні виконується умова:
К.У. (6.42) де функції та є заданими. Цю задачу ще називають задачею з косою похідною.
Нехай – гармонічна в деякій області функція трьох змінних. Тоді для неї рівняння Лапласа має вигляд:
(6.43)
Введемо у розгляд циліндричні координати які пов’язані з декартовими координатами формулами
, (6.44)
Звідси зворотній зв’язок:
(6.45)
Щоб записати рівняння Лапласа в циліндричних координатах, знайдемо відповідні частинні похідні функції , використовуючи формули диференціювання складеної функції декількох змінних:
Враховуючи, що:
отримаємо:
(6.46)
Це і є рівняння Лапласа в циліндричних координатах. Якщо функція U не залежить від z, а лише від x та y, то рівняння Лапласа буде мати вигляд (6.47)
де r та – полярні координати на площині. Знайдене рівняння є рівнянням Лапласа в полярних координатах.
Приклад 6.3 Знайдемо розв’язок рівняння Лапласа в області D, що обмежена двома колами та якщо значення шуканої функції на колах:
К.У. де та – сталі. Це може бути, наприклад, задача про стаціонарний розподіл температури у кільці між двома колами, якщо на самих колах температура задана. Розв’язуємо задачу у полярних координатах. Очевидно, шукана функція не залежить від кута . Тоді рівняння Лапласа набуває простішого вигляду:
Це звичайне диференціальне рівняння другого порядку, яке допускає пониження порядку. Інтегруючи його, знайдемо Визначимо та із крайових умов:
звідси остаточно отримаємо:
6.9 Задача діріхле для круга
Нехай у площині хоу є круг радіуса R з центром в початку координат. на його колі задана деяка функція де – полярний кут. Треба знайти функцію неперервну у крузі, яка задовольняє всередині круга рівнянню Лапласа [1]. Постановка задачі в полярних координатах має вигляд:
, , К.У. Припустимо, що можна розкласти в ряд Фур’є на . Перепишемо рівняння Лапласа, домноживши його на :
Будемо шукати розв’язок за методом Фур’є, подаючи функцію
(6.48)
Підставляючи її в рівняння та враховуючи, що та отримаємо: Відокремимо змінні:
Отже, рівняння Лапласа розпалося на два диференціальних рівняння:
(І) . (ІІ) З рівняння (І) маємо
k2+ λ=0, . Тоді (6.49)
Оскільки задана область є кругом, то при збільшенні кута на 2π точка M (r, φ) повернеться у своє початкове положення. Отже, функція Ф (φ) – 2π-періодична, а це означає, що число має бути цілим: або Тоді отримаємо множину функцій:
,
Коефіцієнти та залишились невизначеними. Розглянемо рівняння (ІІ):
Розв’язок цього рівняння будемо шукати у вигляді , де – невідомий параметр. Підставимо цю функцію у рівняння:
(6.50) Поділивши на , отримаємо:
Зазначимо, що – сторонній корінь, оскільки при функція Отже, Остаточно маємо:
(6.51)
Завдяки лінійності та однорідності рівняння Лапласа сума частинних розв’язків: (6.52)
буде також розв’язком рівняння Лапласа. Для знаходження коефіцієнтів та використаємо крайову умову: Це є ряд Фур’є для функції з коефіцієнтами та які визначаються за формулами Фур’є: Звідси: (6.53) Таким чином, розв’язком задачі Діріхле у крузі радіуса R є функція (6.52) з коефіцієнтами (6.53).
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1801; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |