Виробнича функція Коба-Дугласа

Виробничі функції, загальні положення

Виробнича функція Коба-Дугласа

Виробничі функції, загальні положення

1. Еластичність заміни факторів
2. Виробнича функція CES
3. Моделювання за допомогою ВФ

Моделі, які ми розглядали дотепер були лінійні. Без сумніву, охопити лінійними моделями всю складність сучасних економічних процесів неможливо. Складність полягає ще і в тому, що для того, щоб побудувати, наприклад, модель Неймана, необхідно зібрати дуже багато статистичної інформації, яка враховує всю внутрішню структуру виробництва.

З другого боку, як правило, простіше отримати звітні дані про узагальнені економічні показники такі як вартість виробленого продукту, об’єм основних фондів, чисельність працівників і т.д. Виявляється, що оперуючи лише такими узагальненими даними і розглядаючи виробничий об’єкт як „чорний ящик”, тобто розглядаючи лише зв’язок між затраченими засобами і виробленим продуктом, теж можна отримати змістовний результат.

Ці міркування і є основою теорії виробничих функцій. Ця теорія бере свій початок від 1928 року коли була опублікована стаття американських вчених - математика Коба і економіста Дугласа «Теорія виробництва», яка і була початком для розвитку нелінійних моделей, зокрема нелінійних виробничих функцій. В цій статті було зроблено спробу емпіричним шляхом визначити вплив залежності величини витраченого капіталу і праці на об’єм виробленої продукції в обробній промисловості США. На основі інформації про капіталовкладення і ресурси робочої сили будується функція для визначення обсягу випуску продукції.

На основі зібраних емпіричних даних 1899-1922рр.було проведено відповідний аналіз і поставлено 3 наступні задачі:

1. Визначити параметричний клас функцій, які найточніше наближають кількісні співвідношення між трьома обраними характеристиками виробничої діяльності;

2. Знайти числові параметри для конкретної функції з заданого класу;

3. Перевірити адекватність моделі (чи наша побудована функція достатньо добре описує експериментальні дані).

Коб запропонував функцію виду

- (1)

де У - обсяг виробленої продукції;

– капіталовкладення

– трудові ресурси

, , - числові параметри

, ,

Було складено систему рівнянь

,

де фактичні значения відповідних величин в рік . Методом найменших квадратів було знайдено значення параметрів , , , які відповідно мінімізували вираз

При цьому з’ясувалось, що , , ;

Тобто було встановлено, що .

Перевірка адекватності моделі з фактичними даними засвідчила, що отримана залежність дає дуже хороше наближення, а найбільші відхилення величин і спостерігались тільки в періоди економічної депресії або надмірного оживлення ділової активності.

В науковому плані це був чудовий старт і зараз теорія виробничих функцій дуже широко застосовується для задач планування і прогнозування як в окремих галузях, так і на рівні всього народного господарства.

Для вивчення основних математичних характеристик виробничих функцій і їх економічної інтерпретації розглянемо двох факторну функцію

(2)

де - мають той самий смисл, що і в функції Коба-Дугласа (1). Функцію (1) ми будемо і надалі використовувати в якості практичної ілюстрації.

На виробничу функцію (2) накладаються наступні умови:

1) ; (3)

2) , ; (4)

3) , ; (5)

4) , , (6)

Коротко пояснимо накладені вимоги:

(3) – при відсутності одного з факторів виробництва, випуск продукції неможливий;

(4) – при збільшенні об’єму одного з факторів, якщо інший – незмінний, випуск продукції зростає;

(5) – якщо один з факторів зафіксувати, то збільшення приросту другого фактора призводить до зменшення термінів приросту випуску продукції;

(6) – умова однорідності степені . Показник характеризує ефект від розширення масштабу виробництва. Якщо >1, то одночасне збільшення всіх факторів в разів, призводить до зростання об’єму випуску більше ніж в разів.

На практиці найчастіше .

Розглянемо основні економіко-математичні характеристики виробничих функцій;:

- середня (питома) продуктивність праці; (7)

- середня (питома) фондовіддача; (8)

- гранична продуктивність праці; (9)

- гранична фондовіддача; (10)

- фондоозброєність (кількість капіталовкладень на одного працівника);

Всі перераховані показники є розмірними величинами, зв’язаними з абсолютними приростами. Представляють інтерес величини, які характеризують процент приросту продукції при збільшенні затрат ресурсу на 1 %. Такі показники називаються коефіцієнтами еластичності.

Коефіцієнт еластичності по фондах:

(11)

Пояснимо цю формулу. Нехай приріст основних фондів при незмінному другому факторі - трудових ресурсів, відповідає приросту об’єму випуску. Тоді збільшення об’єму основних фондів відповідає збільшенню випуску на . Отже, при збільшенні об’єму основних фондів на 1%, об’єм випуску збільшиться на .. Переходячи до границі при , отримаємо формулу (11).

Коефіцієнт еластичності по праці

(12)

має аналогічний зміст.

Покажемо, що (1) задовольняє умовам виробничих функцій (3) – (6) і визначимо відповідні характеристики для функції Коба-Дугласа.

;

;

, бо ;

,

, тому середня продуктивність праці функції Коба-Дугласа є спадною за аргументом . Тобто зі збільшенням затрат середня продуктивність праці падає. Пояснення: оскільки величина другого фактора К незмінна, то додатково залучена робоча сила не забезпечена додатковими засобами виробництва, що і призводить до зниження продуктивності праці.

Аналогічно

,

, тому середня продуктивність праці є спадною;

, тобто гранична продуктивність праці пропорційна середній продуктивності і завжди менша за неї, бо , тому .

Аналогічно

Коефіцієнт еластичності по фондах (капіталовкладення)

, тобто власне параметр у функції Коба-Дугласа і є коефіцієнтом еластичності по фондах, а є коефіцієнтом еластичності по праці. Ці коефіцієнти для функції Коба-Дугласа не залежать від величин факторів К та .

Дата добавления: 2014-01-04