Геометрические критерии устойчивости

Возвращаясь к характеристическому уравнению (2), заметим, что произведение

есть не что иное, как передаточная функция каскадного соединения двух звеньев - основного звена и звена обратной связи. Обычно функцию w(P) называют передаточной функций системы с разомкнутой обратной связью.

Формула (11) описывает отображение комплексной плоскости р на другую комплексную плоскость w. Если корни характеристического уравнения то, как легко видеть, всем точкам p будет соответствовать единственная точка w=1. Отсюда сразу вытекает принцип, позволяющий судить О возможности самовозбуждения системы с обратной связью: если образ правой полуплоскости переменной р при отображении вида (11) содержит точку w=1, то система с замкнутой обратной
связью неустойчива.

Важную роль играет кривая на плоскости w, являющаяся образом мнимой оси на плоскости р. Уравнение этой кривой в параметрической форме таково:

Роль параметра играет частота, которая изменяется в пределах от -∞ до +∞. Данная кривая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) разомкнутой системы. Во всех случаях, представляющих практический
интерес, модули частотных коэффициентов передачи звеньев стремятся к нулю с ростом частоты. Поэтому АФХ проходит через точку w = О. Кроме того, АФХ симметрична относительно вещественной оси на плоскости w, поскольку

АФХ для рассматриваемых систем представляют собой замкнутые кривые в плоскости w.

В теории функций комплексного переменного показывается, что при отображении вида (11) образом правой полуплоскости оказывается внутренняя область, охватываемая кривой АФХ. Критерий устойчивости, вытекающий из описанного построения, известен под названием
критерия Найквиста: если АФХ разомкнутой системы охватывает точку с координатами (1;0) то замкнутая система неустойчива.

Помимо критерия Найквиста известен ряд других геометрических методов исследования устойчивости линейных систем с обратной связью, например, критерий Михайлова и критерий пересечений. Они широко применяются при анализе систем автоматического регулирования.

Лекция №26

Дата добавления: 2014-01-04