Дискретное преобразование Фурье

Дискретизация периодических сигналов

Лекция № 31

Модель дискретного сигнала вида 3 лекции 30 предполагает, что отсчетные значения аналогового колебания х (t) могут быть получены в неограниченном числе точек на оси времени. Практически получить столь обширные сведения о сигнале, безусловно, невозможно, поскольку обработка всегда ведется на конечном интервале времени.

Воспользуемся моделью в виде последовательности дельта-импульсов и сопоставим исходному колебанию x (t) его дискретное МИП-представление:

Представим дискретную модель 1комплексным рядом Фурье:

с коэффициентами

Подставляя формулу (1) в (3) и вводя безразмерную переменную, получим:

Используя фильтрующее свойство дельта-функции, имеем:

Формула (5) определяет последовательность коэффициентов, образующих дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Свойства ДПФ:

1. Сумме сигналов отвечает сумма их ДПФ.

2. Число различных коэффициентов Со, C₁, С₂,…, C_N-₁ равно числу N отсчетов за период; при n = N коэффициент C_N = Со.

3. Коэффициент С_о (постоянная составляющая) является средним значением всех отсчетов:

4. Если N - четное число, то

5. Пусть x_k- вещественные числа. Тогда коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно N /2, образуют сопряженные пары:

Дата добавления: 2014-01-04