Базовые понятия теории множеств

Теоретические основы реляционной модели данных

Теоретическую основу реляционной модели данных составляют теория множеств, реляционная алгебра и реляционное исчисление.

Наиболее простой структурой данных будет такая, в которой отсутствуют какие-либо взаимосвязи между её отдельными элементами. Совокупность таких данных представляет собой множество. Понятие множества является неопределяемым понятием. Множество не обладает внутренней структурой, но является совокупностью элементов, обладающих некоторым общим свойством. Чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством необходимо существование правил, позволяющих:

- определять, принадлежит ли рассматриваемый элемент данной совокупности;

- отличать элементы друг от друга.

Последнее правило означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами. Если элемент х принадлежит множеству А, то это обозначается следующим образом:

х Î А

Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, то говорят, что множество В является подмножеством множества А:

В Ì А

Подмножество В множества А называется собственным подмножеством, если В не равно А.

Производя операции над множествами можно построить новые объекты. Основными операциями над множествами являются объединение, пересечение и разность.

Объединением двух множествА ÈВ называется новое множество, элементами которого являются элементы, принадлежащие первому или второму множеству.

Пересечением двух множествА ÇВ называется новое множество, элементами которого являются элементы, принадлежащие и первому и второму множеству.

Разностью(дополнением) двух множеств А \ В называется новое множество, элементами которого являются элементы первого множества за исключением его элементов, являющихся также и элементами второго множества.

Важной операцией создания новых объектов из имеющихся множеств является декартово произведение множеств.

Если А и В множества, то выражение (a,b), где a Î A и b Î B, называется упорядоченной парой. Равенство вида (a,b) = (c,d) означает, что a= c и b= d.

В общем случае можно рассматривать упорядоченную последовательность элементов (a₁,a₂,…,a_n) из элементов a₁Î A₁,a₂ Î A₂,…,a_n Î A_n. Такие упорядоченные последовательности элементов множеств называют наборами или кортежами.

Декартовым произведением множеств A₁,A₂,…,A_n называется множество упорядоченных кортежей вида

A₁ x A₂ x … x A_n = {(a₁,a₂,…,a_n) ÷ a_i Î A_i }

Степенью декартова произведения называют число множеств n, входящих в это декартово произведение.

Подмножество R декартова произведения множеств A₁ x A₂ x … x A_n называется отношением степени n или n-арным отношением. Мощность множества кортежей, входящих в отношение R, называют мощностью отношения R.

Понятие отношения лежит в основе всей реляционной теории баз данных. Ключевыми являются следующие моменты:

· все элементы отношения являются однотипными кортежами. Однотипность кортежей позволяет их считать аналогами строк простой таблицы, то есть таблицы, в которой все строки состоят из одинакового числа ячеек и в соответствующих ячейках содержатся одинаковые типы данных;

· отношение включает в себя не все возможные кортежи декартова произведения. Это значит, что для каждого отношения имеется критерий, по которому определяют, какие кортежи входят в отношение. Этот критерий определяет семантику или смысловое значение отношения. Логическое выражение, позволяющее определить, будет ли кортеж принадлежать отношению, называют предикатом отношения.

Отсюда следует, что степень отношения является аналогом столбцов, а мощность - аналогом количества строк в таблице.

Базовые понятия реляционной модели данных

В соответствии с наиболее распространенной трактовкой, принадлежащей К. Дейту, реляционная модель данных состоит из трех частей – структурной части, целостной части и манипуляционной.

Структурная часть описывает, какие объекты рассматриваются реляционной моделью. Определяется, что единственной структурой данных, используемой в реляционной модели, являются n-арные отношения.

Целостная часть описывает ограничения специального вида, которые должны выполнять для любых отношений в любых реляционных базах данных – это целостность сущностей и целостность ссылок или внешних ключей.

Манипуляционная часть описывает два эквивалентных способа манипулирования реляционными данными – реляционную алгебру и реляционное исчисление.

Дата добавления: 2014-01-04