Моделі, якщо відволіктися від областей, сфер їх застосування, бувають трьох типів: пізнавальні, прагматичні й інструментальні

Моделювання базується на математичній теорії подібності, згідно якої абсолютна подібність може мати місце лише при заміні одного об'єкта іншим точно таким же. При моделюванні більшості систем (за винятком, можливо, моделювання одних математичних структур іншими) досягти абсолютної подібності неможливо, і основна мета моделювання - модель досить добре повинна відображати функціонування модельованої системи.

Будь-яка модель будується і досліджується при певних припущеннях, гіпотезах.

Приклад. Розглянемо фізичну систему: тіло масою m скочується по похилій площині з прискоренням a, на яке впливає сила F. Досліджуючи такі системи, Ньютон одержав математичне співвідношення: F = ma. Це фізико-математична модель системи або математична модель фізичної системи. При описі цієї системи (побудові цієї моделі) прийняті наступні гіпотези: 1) поверхня ідеальна (тобто коефіцієнт тертя дорівнює нулю); 2) тіло знаходиться у вакуумі (тобто опір повітря дорівнює нулю); 3) маса тіла незмінна, 4) тіло рухається з однаковим постійним прискоренням в будь-якій точці.

Приклад. Фізіологічна система - система кровообігу людини - підкоряється деяким законам термодинаміки. Описуючи цю систему на фізичному (термодинамічній) мовою балансових законів, отримаємо фізичну, термодинамічну модель фізіологічної системи. Якщо записати ці закони на математичній мові, наприклад, виписати відповідні термодинамічні рівняння, то вже отримаємо математичну модель системи кровообігу. Назвемо її фізіолого-фізико-математичною моделлю або фізико-математичною моделлю.

Приклад. Сукупність підприємств функціонує на ринку, обмінюючись товарами, сировиною, послугами, інформацією. Якщо описати економічні закони, правила їх взаємодії на ринку за допомогою математичних співвідношень, наприклад, системи алгебраїчних рівнянь, де невідомими будуть величини прибутку, одержувані від взаємодії підприємств, а коефіцієнтами рівняння будуть значення інтенсивності таких взаємодій, то отримаємо математичну модель економічної системи, т. тобто економіко-математичну модель системи підприємств на ринку.

Приклад. Якщо банк виробив стратегію кредитування, зміг описати її за допомогою економіко-математичних моделей і прогнозує свою тактику кредитування, то він має більшу стійкість і життєздатність.

Слово "модель" (лат. modelium) означає "міра", "спосіб", "схожість з якоюсь річчю".

Пізнавальна модель - форма організації і представлення знань, засіб з'єднання нових і старих знань. Пізнавальна модель, як правило, підганяється під реальність і є теоретичною моделлю.

Прагматична модель - засіб організації практичних дій, робочого представлення цілей системи для її управління. Реальність в них підганяється під певну прагматичну модель. Це, як правило, прикладні моделі.

Інструментальна модель - засіб побудови, дослідження та/або використання прагматичних і/або пізнавальних моделей.

Пізнавальні відображають існуючі відносини і зв'язки, а прагматичні - хоч і не існуючі, але бажані і, можливо, такі, що можуть бути здійснєні.

За рівнем, "глибині" моделювання моделі бувають:

- емпіричні - на основі емпіричних фактів, залежностей;

- теоретичні - на основі математичних описів;

- змішані, напівемпіричні - на основі емпіричних залежностей і математичних описів.

Проблема моделювання складається з трьох завдань:

- побудова моделі;

- дослідження моделі;

- використання моделі.

Моделювання - це універсальний метод отримання, опису і використання знань. Він використовується в будь-якій професійній діяльності. У сучасній науці і технології роль і значення моделювання посилюється, актуалізується проблемами, успіхами інших наук.

Класифікацію моделей проводять за різними критеріями. Наведемо найбільш просту і практично значущу.

Модель називається статичною, якщо серед параметрів, що беруть участь в її описі, немає часового параметра. Статична модель в кожен момент часу дає лише "фотографію" системи, її зріз.

Приклад. Закон Ньютона F = am - це статична модель матеріальної точки масою m, яка рухається з прискоренням a. Ця модель не враховує зміни прискорення від однієї точки до іншої.

Модель динамічна, якщо серед її параметрів є часовий параметр, тобто вона відображає систему (процеси в системі) в часі.

Приклад. Модель S = gt²/2 - динамічна модель шляху при вільному падінні тіла. Динамічна модель типу закону Ньютона: F (t) = a(t) m(t).

Модель дискретна, якщо вона описує поведінку системи тільки в дискретні моменти часу.

Приклад. Якщо розглядати тільки t = 0, 1, 2, …, 10 (сек), то модель S_t = gt²/2 або числова послідовність S₀ = 0, S₁ = g/2, S₂ = 2g, S₃ = 9g / 2, …, S₁₀ = 50g може служити дискретною моделлю руху вільно падаючого тіла.

Модель безперервна, якщо вона описує поведінку системи для всіх моментів часу з деякого проміжку часу.

Приклад. Модель S = gt²/2, 0<t<100 неперервна на проміжку часу (0; 100).

Модель імітаційна, якщо вона призначена для випробування або вивчення можливих шляхів розвитку і поведінки об'єкта шляхом варіювання деяких або всіх параметрів моделі.

Приклад. Нехай модель економічної системи виробництва товарів двох видів 1 і 2, відповідно, в кількості x₁ і x₂ одиниць і вартістю кожної одиниці товару a₁ і a₂ на підприємстві описана у вигляді співвідношення: a₁x₁ + a₂x₂ = S, де S - загальна вартість виробленої підприємством всій продукції (виду 1 і 2). Можна її використовувати в якості імітаційної моделі, по якій можна визначати (варіювати) загальну вартість S в залежності від тих чи інших значень обсягів вироблених товарів.

Модель детермінована, якщо кожному вхідному набору параметрів відповідає цілком певний набір вихідних параметрів, якій однозначно визначається, в іншому випадку - модель недетермінована, стохастична (імовірнісна).

Приклад. Наведені вище фізичні моделі - детерміновані. Якщо в моделі S = gt2/2, 0<t<100 ми врахували б випадковий параметр - порив вітру з силою p при падінні тіла, наприклад, так: S (p) = g(p)t²/2, 0<t<100, то ми отримали б стохастичну модель (вже не вільного) падіння.

Модель функціональна, якщо вона може бути представленою у вигляді системи яких-небудь функціональних співвідношень.

Приклад. Безперервний, детермінований закон Ньютона і модель виробництва товарів (див. вище) - функціональні.

Модель теоретико-множинна, якщо вона може бути представленою за допомогою деяких множин і відносин належності їм і між ними.

Приклад. Нехай задані безліч X={Микола, Петро, Ніколаєв, Петров, Олена, Катерина, Михайло, Тетяна} і відносини: Микола - чоловік Олени, Катерина - дружина Петра, Тетяна - дочка Миколи й Олени, Михайло - син Петра і Катерини, сім'ї Михайла і Петра дружать один з одним. Тоді безліч X і безліч перерахованих відносин Y можуть служити теоретико-множинної моделлю двох дружніх сімей.

Модель логічна, якщо вона може бути представленою предикатами, логічними функціями.

Приклад. Сукупність двох логічних функцій виду: Z = Ḡ˄Y˅G˄Ῡ, P = G˄Y може служити математичною моделлю одноразрядного суматора.

Модель ігрова, якщо вона описує, реалізує деяку ігрову ситуацію між учасниками гри (особами, коаліціями).

Приклад. Нехай гравець 1 - сумлінний податковий інспектор, а гравець 2 - несумлінний платник податків. Йде процес (гра) з ухилення від податків (з одного боку) і по виявленню приховування сплати податків (з іншого боку). Гравці вибирають натуральні числа i та j (i, j ≤ n), які можна ототожнити, відповідно, зі штрафом гравця 2 за несплату податків при виявленні факту несплати гравцем 1 і з тимчасовою вигодою гравця 2 від приховування податків (у середньо - та довгостроковому плані штраф за приховування може виявитися набагато більш відчутним). Розглянемо матричну гру з матрицею виграшів порядку n. Кожен елемент цієї матриці A визначається за правилом a_ij=|i-j|. Модель гри описується цією матрицею і стратегією ухилення і піймання.

Модель алгоритмічна, якщо вона описана деяким алгоритмом або комплексом алгоритмів, якій визначає її функціонування, розвиток. Введення такого, на перший погляд, незвичного типу моделей (дійсно, здається, що будь-яка модель може бути представлена алгоритмом її дослідження), цілком є обґрунтованим, тому що не всі моделі можуть бути досліджені або реалізовані алгоритмічно.

Приклад. Моделлю обчислення суми нескінченної спадної ряду чисел може служити алгоритм обчислення кінцевої суми ряду до деякої заданої ступеня точності.

Алгоритмічною моделлю кореня квадратного з числа x може служити алгоритм обчислення його наближеного як завгодно точного значення за відомою рекурентною формулою.

Модель структурна, якщо вона може бути представленою структурою даних або структурами даних і відносинами між ними.

Приклад. Структурною моделлю може служити опис - табличний, у вигляді графу, функціональний або інше. Модель у вигляді графу представляється графом або графами і відносинами між ними.

Модель ієрархічна (деревоподібна), якщо вона може бути представленою деякої ієрархічної структурою (деревом).

Приклад. Для вирішення задачі знаходження маршруту в дереві пошуку можна побудувати, наприклад, деревоподібну модель (рис. 10.1):

Рис. 10.1. Модель ієрархічної структури

Модель мережева, якщо вона може бути представленою деякої мережевою структурою. Прикладом може бути мережевий графік виконання робіт (10.2.).

10.2. Мережевий графік виконання робіт

Модель мовна, лінгвістична, якщо вона представлена деяким лінгвістичним об'єктом, формалізованою мовною системою або структурою. Іноді такі моделі називають вербальними, синтаксичними і т.п.

Модель візуальна, якщо вона дозволяє візуалізувати відносини і зв'язки системи, яка моделюється, особливо в динаміці.

Приклад. На екрані комп'ютера часто користуються візуальної моделлю того чи іншого об'єкта, наприклад, клавіатури в програмі-тренажері з навчання роботі на клавіатурі.

Модель натурна, якщо вона є матеріальна копія об'єкта моделювання.

Часто зустрічаються напівнатурні моделі, так як натурні моделі часто складні в реалізації та дороги у виконанні.

Приклад. Глобус - натурна географічна модель земної кулі.

Модель геометрична, графічна, якщо вона може бути представленою геометричними образами і об'єктами.

Приклад. Макет будинку є натурною геометричною моделлю споруджуваного будинку. Вписаний в коло багатокутник дає модель окружності. Саме вона використовується при зображенні окружності на екрані комп'ютера. Пряма лінія є моделлю числової осі, а площину часто зображується як паралелограм.

Модель клітинно-автоматна, якщо вона представляє систему за допомогою клітинного автомата або системи клітинних автоматів.

Клітинний автомат - дискретна динамічна система, аналог фізичного (безперервного) поля. Клітинно-автоматна геометрія - аналог евклідової геометрії. Неподільний елемент евклідової геометрії - точка, на її основі будуються відрізки, прямі, площини і т.д.

Неподільний елемент клітинно-автоматного поля - клітина, на основі її будуються кластери клітин і різні конфігурації клітинних структур. Це "світ" деякого автомата, виконавця, структури. Представляється клітинний автомат рівномірної мережею клітин ("осередків") цього поля. Еволюція клітинного автомата розгортається в дискретному просторі - клітинному полі. Такі клітинні поля можуть бути матеріально-енерго-інформаційними. Закони еволюції локальні, тобто динаміка системи визначається заданим незмінним набором законів або правил, за якими здійснюється обчислення нової клітини еволюції і його матеріально-енерго-інформаційні характеристики в залежності від стану оточуючих її сусідів (правила сусідства, як уже сказано, задаються). Зміна станів у клітинно-автоматному поле відбувається одночасно і паралельно, а час йде дискретно. Незважаючи на уявну простоту їх побудови, клітинні автомати можуть демонструвати різноманітну і складну поведінку. Останнім часом вони широко використовуються при моделюванні не тільки фізичних, але і соціально-економічних процесів.

Клітинні автомати (поля) можуть бути одновимірними, двовимірними (з осередками на площині), тривимірними (з осередками в просторі) або ж багатовимірними (з осередками в багатовимірних просторах).

Приклад. Розглянемо клітинно-автоматну модель забруднення середовища, дифузії забруднювача в деякому середовищі. 2D-клітинний автомат (на площині) для моделювання забруднення середовища може бути генерований наступними правилами:

- площина розбивається на однакові клітини: кожна клітина може знаходитися в одному з двох станів: стан 1 - в ній дифундує частка забруднювача, і стан 0 - якщо її немає;

- клітинне поле розбивається на блоки 2 × 2 двома способами, які будемо називати парне і непарне розбиття (у парного розбиття в кластері або блоці знаходиться парне число точок або клітин поля, у непарного блоку - їх непарне число);

- на черговому кроці еволюції кожен блок парного розбиття повертається (що задається правилом поширення забруднення або генеруємим розподілом випадкових чисел) на заданий кут (напрямок повороту вибирається генератором випадкових чисел);

- аналогічне правило визначається і для блоків непарного розбиття;

- процес продовжується до деякого моменту або до очищення середовища.

Нехай одиниця часу - крок клітинного автомата, одиниця довжини - розмір його клітини. Якщо перебрати всілякі поєднання поворотів блоків парного і непарного розбиття, то бачимо, що за один крок частинка може переміститися уздовж кожної з координатних осей на відстань 0, 1 або 2 (без урахування напрямку зсуву) з ймовірностями, відповідно, p₀ = 1/4, p₁ = 1/2, p₂ = 1/4. Імовірність попадання частинки в дану точку залежить лише від її положення в попередній момент часу, тому розглядаємо рух частинки вздовж осі х (y) як випадкове.

Модель фрактальна, якщо вона описує еволюцію системи, що моделюється еволюцією фрактальних об'єктів. Якщо фізичний об'єкт однорідний (суцільний), тобто в ньому немає порожнин, можна вважати, що щільність не залежить від розміру.

Приклад. Приклад фрактальної моделі - множина Кантора. Розглянемо [0; 1]. Розділимо його на 3 частини і викинемо середній відрізок. Решту 2 проміжки знову розділимо на три частини і викинемо середні проміжки і т.д. Отримаємо множину, яка зветься множиною Кантора.

Можна показати, що якщо n - розмірність множини Кантора, то n=ln2/ln3-0,63, тобто цей об'єкт (фрактал) ще не складається тільки з ізольованих точок, хоча вже й не складається з відрізка. Фрактальні об'єкти самоподібні, якщо вони виглядають однаково в будь-якому просторовому масштабі, є масштабно інваріантними, фрагменти структури повторюються через певні просторові проміжки. Тому вони дуже добре підходять для моделювання нерегулярностей, так як дозволяють описувати (наприклад, дискретними моделями) еволюцію таких систем для будь-якого моменту часу і в будь-якому просторовому масштабі.

Самоподібність зустрічається в самих різних предметах і явищах.

Приклад. Самоподібні гілки дерев, сніжинки, економічні системи (хвилі Кондратьєва), гірські системи.

Фрактальна модель застосовується зазвичай тоді, коли реальний об'єкт не можна представити у вигляді класичної моделі, коли маємо справу з нелінійністю (багатоваріантністю шляхів розвитку і необхідністю вибору) і недетермінірованностью, хаотичністю і необоротністю еволюційних процесів.

Тип моделі залежить від інформаційної сутності системи, що моделюється, від зв'язків і відносин її підсистем і елементів, а не від її фізичної природи.

Приклад. Математичні описи (моделі) динаміки епідемії інфекційної хвороби, радіоактивного розпаду, засвоєння другої іноземної мови, випуску виробів виробничого підприємства і т.д. є однаковими з точки зору їх опису, хоча процеси різні.

Межі між моделями різного типу або ж віднесення моделі до того чи іншого типу часто досить умовні. Можна говорити про різні режими використання моделей - імітаційний, стохастичний і т.д.

Модель включає в себе: об'єкт О, суб'єкт (не обов'язковий) А, задачу Z, ресурси B, середу моделювання С: М = <O, Z, A, B, C>.

Основні властивості будь-якої моделі:

- цілеспрямованість - модель завжди відображає деяку систему, тобто має мету;

- скінченність - модель відображає оригінал лише в кінцевому числі його відносин і, крім того, ресурси моделювання кінцеві;

- спрощеність - модель відображає тільки істотні сторони об'єкта і, крім того, повинна бути проста для дослідження або відтворення;

- приблизність - дійсність відображається моделлю грубо чи приблизно;

- адекватність - модель повинна успішно описувати систему, що моделюється;

- наочність, видимість основних її властивостей і відносин;

- доступність і технологічність для дослідження або відтворення;

- інформативність - модель повинна містити достатню інформацію про систему (в рамках гіпотез, прийнятих при побудові моделі) і повинна давати можливість отримати нову інформацію;

- збереження інформації, що містилася в оригіналі (з точністю розглянутих при побудові моделі гіпотез);

- повнота - в моделі повинні бути враховані всі основні зв'язки і відносини, необхідні для забезпечення мети моделювання;

- стійкість - модель повинна описувати і забезпечувати стійке поводження системи, якщо навіть вона спочатку є нестійкою;

- цілісність - модель реалізує деяку систему (тобто ціле);

- замкнутість - модель враховує і відображає замкнену систему необхідних основних гіпотез, зв'язків і відносин;

- адаптивність - модель може бути пристосована до різних вхідних параметрів, впливів оточення;

- керованість (імітаційність) - модель повинна мати хоча б один параметр, змінами якого можна імітувати поведінку системи, що моделюється, в різних умовах;

- еволюціоніруемость - можливість розвитку моделей (попереднього рівня).

Життєвий цикл модельованої системи:

- збір інформації про об'єкт, висунення гіпотез, предмодельний аналіз;

- проектування структури та складу моделей (подмоделей);

- побудова специфікацій моделі; розробка та налагодження окремих подмоделей, складання моделі в цілому, ідентифікація (якщо це потрібно) параметрів моделей;

- дослідження моделі - вибір методу дослідження і розробка алгоритму (програми) моделювання;

- дослідження адекватності, стійкості, чутливості моделі;

- оцінка засобів моделювання (витрачених ресурсів);

- інтерпретація, аналіз результатів моделювання і встановлення деяких причинно-наслідкових зв'язків у досліджуваній системі;

- генерація звітів і проектних рішень;

- уточнення, модифікація моделі, якщо це необхідно, і повернення до досліджуваної системі з новими знаннями, отриманими за допомогою моделі та моделювання.

Моделювання - метод системного аналізу. Але часто в системному аналізі при модельному підході дослідження може відбуватися одна методична помилка, а саме, - побудова коректних і адекватних моделей (подмоделей) підсистем системи та їх логічно коректна ув'язка не дає гарантій коректності побудованої таким способом моделі всієї системи.

Модель, побудована без урахування зв'язків системи з середовищем і її поведінки по відношенню до цього середовища, може часто лише служити ще одним підтвердженням теореми Геделя, а точніше, її слідства, який стверджує, що в складній ізольованій системі можуть існувати істини і висновки, коректні в цій системі і некоректні поза нею.

Наука моделювання полягає в розділенні процесу моделювання (системи, моделі) на етапи (підсистеми, подмоделі), детальному вивченні кожного етапу, взаємин, зв'язків, відносин між ними і потім ефективного опису їх з максимально можливим ступенем формалізації і адекватності. У разі порушення цих правил отримуємо не модель системи, а модель "власних і неповних знань".

Моделювання (у значенні "метод", "модельний експеримент") розглядається як особлива форма експерименту, експерименту не над самим оригіналом (це називається простим або звичайним експериментом), а над копією (заступником) оригіналу. Тут важливий ізоморфізм систем (оригінальної і модельної) - ізоморфізм, як самої копії, так і знань, за допомогою яких вона була запропонована.

Моделі і моделювання застосовуються за основними напрямками:

- навчання (як моделям, моделюванню, так і самих моделей);

- пізнання і розробка теорії досліджуваних систем (за допомогою будь-яких моделей, моделювання, результатів моделювання);

- прогнозування (вихідних даних, ситуацій, станів системи);

- управління (системою в цілому, окремими підсистемами системи), вироблення управлінських рішень і стратегій;

- автоматизація (системи або окремих підсистем системи).

Питання для самоконтролю

1. Що таке модель, для чого вона потрібна і як використовується? Яка модель називається статичною (динамічної, дискретної і т.д.)?

2. Які основні властивості моделей і наскільки вони важливі?

3. Що таке життєвий цикл моделювання (системи,яка моделюється)?

Дата добавления: 2014-01-04